Completitud e incompletitud · Definición

Incompletitud de Gödel

lógicafundamentos

Antes de empezar necesitas conocer

Los teoremas de incompletitud de Gödel fijan límites a lo que un sistema formal consistente puede demostrar sobre la aritmética.

Definición

Un sistema consistente \(\mathcal{S}\) que representa suficiente aritmética es incompleto: existe una fórmula \(\varphi\) que no puede demostrar ni refutar.

\[\\exists\\varphi\\,(\\mathcal{S}\\nvdash\\varphi\\land\\mathcal{S}\\nvdash\\neg\\varphi)\]

Los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que ciertos sistemas formales consistentes y suficientemente expresivos para representar aritmética contienen afirmaciones que el propio sistema no puede demostrar ni refutar.

El resultado no dice que toda matemática sea inútil ni que toda afirmación sea indecidible. Señala un límite interno: un sistema formal rico puede hablar indirectamente de sus propias demostraciones y encontrar preguntas que no resuelve.

La segunda incompletitud profundiza el fenómeno al relacionarlo con la imposibilidad, bajo hipótesis adecuadas, de demostrar dentro del sistema su propia consistencia.

Para pensar

¿Qué condición evita aplicar el teorema a cualquier sistema diminuto?

El sistema debe ser suficientemente expresivo para representar una parte adecuada de la aritmética.

Ejercicios 10

  1. La incompletitud de Gödel se refiere a sistemas que son...
  2. Un resultado de Gödel es que ciertos sistemas contienen proposiciones...
  3. La codificación de Gödel relaciona fórmulas con...
  4. Para aplicar la idea de incompletitud, el sistema debe poder expresar al menos...
  5. La incompletitud de Gödel no afirma que...
  6. Los teoremas de incompletitud requieren sistemas que puedan expresar...
  7. Una oración indecidible es una que...
  8. La primera incompletitud afirma que existe una fórmula que el sistema no puede...
  9. Selecciona el rasgo asociado al resultado de Gödel.
  10. La segunda incompletitud se relaciona especialmente con...

Referencias

  • Frederic P. Schuller, Lectures on the Geometrical Anatomy of Theoretical Physics · Lecture 1, Introduction / Logic of Propositions and Predicates, YouTube, 2015.