Lógica de predicados · Definición

Negación de cuantificadores

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Antes de empezar necesitas conocer

Negar un cuantificador intercambia \(\forall\) y \(\exists\) y niega la propiedad \(P(x)\).

Definición

Para un predicado \(P(x)\) sobre \(D\), la negación de un cuantificador intercambia el cuantificador y niega el predicado.

\[\begin{gathered}\neg\forall x P(x)\equiv\exists x\neg P(x)\\\neg\exists x P(x)\equiv\forall x\neg P(x)\end{gathered}\]

Negar un cuantificador cambia tanto el cuantificador como la propiedad. La negación de «para todo» se convierte en «existe al menos uno que no», y la de «existe» en «para todo no».

Así, \(\neg\forall x\,P(x)\) es equivalente a \(\exists x\,\neg P(x)\), mientras que \(\neg\exists x\,P(x)\) es equivalente a \(\forall x\,\neg P(x)\).

La diferencia entre «no todos» y «ninguno» es crucial: la primera afirma que existe un contraejemplo; la segunda afirma que todos fallan la propiedad.

Para pensar

¿Qué expresa «no todos los estudiantes aprobaron»?

Que existe al menos un estudiante que no aprobó.

Ejercicios 10

  1. La negación de \(\forall x\,P(x)\) es...
  2. La negación de \(\exists x\,P(x)\) es...
  3. No todos los estudiantes aprobaron equivale a...
  4. ¿Qué operación aparece al negar un cuantificador?
  5. ¿Cuál equivalencia es correcta?
  6. La negación de \(\forall x\,P(x)\) es equivalente a...
  7. La negación de \(\exists x\,P(x)\) es equivalente a...
  8. Para negar 'todo número es positivo' basta afirmar...
  9. Selecciona la equivalencia correcta.
  10. Confundir \(\neg\forall x\,P\) con \(\forall x\,\neg P\) cambia 'existe un contraejemplo' por...

Referencias

  • Frederic P. Schuller, Lectures on the Geometrical Anatomy of Theoretical Physics · Lecture 1, Introduction / Logic of Propositions and Predicates, YouTube, 2015.