Teoría de la demostración · Definición

Consistencia

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Antes de empezar necesitas conocer

La consistencia es una propiedad de un sistema formal: no debe demostrar a la vez una fórmula y su negación.

Definición

Un sistema \(\mathcal{S}\) es consistente si no existe una fórmula \(\varphi\) tal que \(\mathcal{S}\) demuestre \(\varphi\) y \(\neg\varphi\).

\[\\neg\\exists\\varphi\\,(\\mathcal{S}\\vdash\\varphi\\wedge\\mathcal{S}\\vdash\\neg\\varphi)\]

Un sistema es consistente si no permite demostrar simultáneamente una fórmula y su negación. La consistencia describe el comportamiento de todo el sistema, no la dificultad de una sola demostración.

En una teoría clásica inconsistente aparece el principio de explosión: a partir de una contradicción se puede derivar cualquier proposición. Por eso una teoría que demuestra todo pierde su poder para distinguir consecuencias.

La consistencia puede estudiarse construyendo modelos o comparando la teoría con otra cuya consistencia ya se conoce.

Para pensar

¿Por qué demostrar \(P\) y \(\neg P\) es grave en una teoría clásica?

Porque la contradicción puede permitir demostrar cualquier proposición mediante el principio de explosión.

Ejercicios 10

  1. Un sistema es consistente si...
  2. ¿Qué situación señala una inconsistencia?
  3. Si un sistema tiene axiomas contradictorios, puede ocurrir que...
  4. La consistencia es una propiedad de...
  5. Para estudiar consistencia se pregunta si el sistema puede probar...
  6. Un sistema es inconsistente si demuestra...
  7. En una teoría clásica inconsistente puede aparecer el principio de...
  8. La consistencia pregunta si existe una derivación simultánea de...
  9. ¿Cuál afirmación sobre consistencia es correcta?
  10. Una teoría inconsistente es problemática porque...

Después de esto

Referencias

  • Frederic P. Schuller, Lectures on the Geometrical Anatomy of Theoretical Physics · Lecture 1, Introduction / Logic of Propositions and Predicates, YouTube, 2015.