Completitud e incompletitud · Definición

Aritmética

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Definición

La aritmética estudia los números, sus operaciones y sus propiedades.

\[\mathbb{N},\quad +,\quad \cdot,\quad \le\]

La aritmética estudia números, operaciones y propiedades elementales como la suma, la multiplicación, la divisibilidad y el orden.

Además de calcular, la aritmética permite formular afirmaciones precisas sobre los números. Por eso aparece como parte del lenguaje mínimo que algunos sistemas formales necesitan para expresar sus propias operaciones y demostraciones.

Conviene distinguir la operación de sus propiedades: sumar enteros, por ejemplo, es una operación; que la suma sea asociativa y conmutativa son propiedades que después se pueden demostrar.

Para pensar

¿Por qué la aritmética aparece en el contexto de Gödel?

Porque un sistema formal suficientemente expresivo debe poder representar operaciones y afirmaciones aritméticas para construir la codificación del resultado.

Ejercicios 10

  1. La aritmética estudia principalmente...
  2. ¿Cuál igualdad expresa la conmutatividad de la suma?
  3. El elemento neutro aditivo de los enteros es...
  4. Si a,b ∈ ℤ, entonces a+b pertenece a...
  5. ¿Cuál operación no está cerrada en ℤ?
  6. Selecciona operaciones que forman parte de la aritmética elemental.
  7. ¿Cuál afirmación sobre la multiplicación de enteros es correcta?
  8. Si a≠0 y a divide a b, entonces existe un entero k tal que...
  9. Selecciona propiedades verdaderas de la suma usual en ℤ.
  10. ¿Por qué la división usual no es una operación binaria en ℤ?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, 2nd edition, Academic Press, 2001.