Teoría de la demostración · Definición
Sistema axiomático
Antes de empezar necesitas conocer
Un sistema axiomático organiza el razonamiento matemático en tres partes: un lenguaje, unos axiomas de partida y unas reglas para deducir resultados.
Definición
Un sistema axiomático es una terna \(\mathcal{S}=(\mathcal{L},\mathcal{A},\mathcal{R})\) formada por un lenguaje formal, axiomas y reglas de inferencia.
Todo teorema de un sistema axiomático tiene una derivación finita, así que cada resultado puede comprobarse paso a paso sin recurrir a la intuición.
Tomemos los axiomas \(p\to(q\to p)\) y \(p\), con modus ponens. Entonces \(q\to p\) es teorema: se obtiene de \(p\) y \(p\to(q\to p)\) en un solo paso.
Un error típico es creer que un axioma es solo una verdad evidente que no hace falta fijar. En el sistema cuenta lo que está en la lista; una fórmula obvia no es teorema hasta tener derivación.
Para pensar
¿Qué tres ingredientes mínimos aparecen en un sistema axiomático?
Un lenguaje, axiomas y reglas de inferencia.
Ejercicios 11
- Un sistema axiomático incluye...
- Los axiomas funcionan como...
- Una derivación dentro de un sistema axiomático es...
- Las reglas de un sistema axiomático indican...
- Un sistema axiomático puede estudiarse preguntando si es...
- Un sistema axiomático parte de...
- Un axioma es una afirmación que...
- Las reglas de inferencia indican...
- ¿Cuál de estas afirmaciones sobre un sistema formal es correcta?
- Una demostración dentro de un sistema depende de...
- ¿Cuál de estas fórmulas es teorema del sistema con axiomas \(p\), \(p\to q\) y \(q\to r\), usando modus ponens?
Después de esto
Referencias
- Frederic P. Schuller, Lectures on the Geometrical Anatomy of Theoretical Physics · Lecture 1, Introduction / Logic of Propositions and Predicates, YouTube, 2015.