Estabilidad de un equilibrio

Hay tres comportamientos. Un equilibrio es inestable si alguna solución cercana termina lejos. Es estable si las cercanas se mantienen cerca. Y es asintóticamente estable si, además, tienden a él cuando \(t\to\infty\); esto último es lo que se espera de un péndulo con fricción en su posición más baja.

Para \(\mathbf x'=A\mathbf x\) el origen se decide con los valores propios \(\lambda\) de \(A\). Si todos tienen parte real negativa, es asintóticamente estable; si alguno la tiene positiva, es inestable. Si hay partes reales nulas y ninguna positiva, es estable pero no asintóticamente (los valores propios \(\pm i\beta\) dan centros, con trayectorias cerradas). En dimensión dos basta ver la traza y el determinante: ambos valores propios tienen parte real negativa si y solo si la traza es negativa y el determinante positivo.

Ejemplo guía: en \(y'=y(1-y)\), la derivada \(f'(y^*)\) decide. En \(y^*=0\) vale \(1>0\) y las soluciones se alejan; en \(y^*=1\) vale \(-1<0\) y las soluciones se acercan. En un sistema no lineal se aplica la misma idea a la matriz jacobiana en el equilibrio, y el resultado vale cuando ningún valor propio tiene parte real cero.

Error típico: pensar que estable significa «tiende al equilibrio». Un centro es estable sin que las soluciones se acerquen. Este concepto cierra el recorrido del curso: relaciona valores propios, retrato de fase y comportamiento a largo plazo de un modelo.