Topología

En un espacio métrico los abiertos cumplen tres propiedades: el vacío y el espacio entero son abiertos, toda unión de abiertos es abierta y la intersección de dos abiertos es abierta. La definición de topología toma justamente esas propiedades como axiomas, de modo que cualquier familia que las satisfaga cuenta como «los abiertos» de \(X\), venga o no de una distancia.

Basta pedir la intersección de dos abiertos: por inducción se obtiene la de cualquier cantidad finita. Pedir intersecciones infinitas sería demasiado, pues \(\bigcap_n(-1/n,1/n)=\{0\}\) no es abierto en \(\mathbb{R}\). Un ejemplo guía es \(X=\{a,b,c\}\) con \(\mathcal{T}=\{\varnothing,X,\{a\},\{a,b\}\}\): se comprueba a mano que toda unión y toda intersección vuelve a estar en \(\mathcal{T}\).

Una intersección de topologías sobre \(X\) es una topología, pero una unión en general no (hace falta añadir uniones e intersecciones nuevas). Un error común es creer que cualquier familia con \(\varnothing\) y \(X\) ya es una topología, o que los abiertos deben ser «intervalos»: en un conjunto finito pueden ser casi cualquier cosa.

Con este axioma definiremos el espacio topológico, y después los conjuntos cerrados, las bases, los interiores y la continuidad, todo en términos de abiertos.