Elemento irreducible

En \(\mathbb{Z}\) los irreducibles son los números primos y sus negativos. En \(F[x]\), con \(F\) un cuerpo, son los polinomios que no se escriben como producto de dos polinomios de menor grado. Ser irreducible depende del anillo: \(x^2+1\) es irreducible en \(\mathbb{R}[x]\) pero se factoriza como \((x-i)(x+i)\) en \(\mathbb{C}[x]\), y \(x^2-2\) lo es en \(\mathbb{Q}[x]\) pero no en \(\mathbb{R}[x]\).

Multiplicar por una unidad no cambia nada: si \(p\) es irreducible y \(u\) es unidad, \(up\) también lo es (se dice que son asociados). Por eso se habla de factorizar «salvo asociados». Un polinomio de grado 2 o 3 sobre un cuerpo es irreducible si y solo si no tiene raíces en ese cuerpo; para grados mayores esa prueba ya no basta, pues \(x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)\) no tiene raíces racionales y aun así es reducible.

En \(\mathbb{Z}\) un irreducible que divide a un producto divide a uno de los factores, pero eso no es automático. En \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\), el 2 es irreducible (su norma 4 no se parte en normas 2) y divide a \(6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\) sin dividir a ningún factor. Distinguir irreducible de primo es lo que hace falta para entender cuándo la factorización es única.