Plano de fase

Al resolver \(x'=f(x,y),\ y'=g(x,y)\) se obtiene un par \((x(t),y(t))\) que, al variar \(t\), recorre una curva en el plano \((x,y)\). Esa curva es la trayectoria; sobre ella una flecha marca el sentido en que avanza el tiempo. El conjunto de trayectorias con sus flechas es el retrato de fase, y el tiempo ya no aparece como eje.

En cada punto, el vector \((f,g)\) es la velocidad y es tangente a la trayectoria. Como no depende de \(t\), por cada punto que no es de equilibrio pasa una sola trayectoria y dos trayectorias distintas nunca se cruzan. Donde \(f\neq0\) la pendiente es \(dy/dx=g/f\), una ecuación de primer orden que a veces se resuelve por separación de variables.

Ejemplo guía: para \(x'=y,\ y'=-x\) se tiene \(dy/dx=-x/y\), y de \(x\,dx+y\,dy=0\) sale \(x^2+y^2=c\). Las trayectorias son circunferencias recorridas en sentido horario. Los equilibrios, donde \(f=g=0\), son trayectorias de un solo punto, y alrededor de ellos se lee el comportamiento del sistema.

Error típico: confundir la trayectoria con la gráfica de \(x\) contra \(t\); la trayectoria no dice cuándo pasa el punto por cada lugar, solo por dónde pasa. Este concepto prepara la estabilidad de equilibrios, que se lee directamente en el retrato de fase.