Regla de la suma

Cuando sumamos \(P(A)\) y \(P(B)\), los resultados que están en ambos eventos entran dos veces. Por eso se resta \(P(A\cap B)\). En un dado, con \(A\) = «par» y \(B\) = «múltiplo de 3», el 6 está en los dos: \(\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}\).

Si \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes, \(P(A\cap B)=0\) y la regla se reduce a \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\), que es el tercer axioma de Kolmogórov para dos eventos. De la regla general se obtiene también la cota \(P(A\cup B)\le P(A)+P(B)\), útil para acotar probabilidades sin conocer la intersección.

Para tres eventos la corrección continúa:\[P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).\]Es el principio de inclusión y exclusión, que se generaliza a cualquier número de eventos alternando signos.

Un error típico es sumar sin restar cuando los eventos se solapan, lo que puede dar «probabilidades» mayores que 1. Otro es usar el producto \(P(A)P(B)\) en lugar de la suma: el producto responde a «ambos», y solo bajo independencia. La regla también sirve al revés: si se conoce \(P(A\cup B)\), se despeja \(P(A\cap B)\).