Teoría de grupos · Definición

Elemento identidad

grupos

Antes de empezar necesitas conocer

La identidad es el elemento que deja intacto a cualquier otro al operar con él. Todo grupo la necesita para definir inversos.

Definición

Un elemento \(e\in G\) es identidad o neutro si no cambia ningún elemento del grupo al operar con él.

\[e\ast a=a\ast e=a \quad \forall a\in G\]

También se le llama: o neutro

En un grupo \(G\) la identidad \(e\) es única y cumple \(e\ast a=a\ast e=a\) para todo \(a\in G\). Si hubiera dos identidades \(e\) y \(f\), entonces \(e=e\ast f=f\).

En \((\mathbb{Z},+)\) la identidad es \(0\), pues \(n+0=0+n=n\) para todo entero \(n\). En \((\mathbb{Z},\cdot)\) es \(1\), pues \(n\cdot 1=n\).

Un error frecuente es confundir la identidad con un inverso: \(a\ast a=e\) dice que \(a\) es su propio inverso, no que sea neutro. Tampoco basta que \(e\ast a=a\) se cumpla para algún \(a\); debe cumplirse para todos.

Para pensar

¿Por qué la identidad de un grupo es única?

Porque si hubiera dos identidades \(e\) y \(f\), entonces \(e=e\ast f=f\), así que coinciden.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál es el elemento neutro de (ℤ, +)?
  2. En un grupo, el elemento identidad es...
  3. La propiedad del neutro e se expresa como...
  4. ¿Cuál es el neutro de (ℚ∖{0}, ·)?
  5. Si e y f son identidades del mismo grupo, entonces...
  6. La identidad de un grupo es...
  7. En (ℤ,+), el elemento identidad es...
  8. Si e es identidad, ¿qué ocurre con a∗e?
  9. ¿Cuál expresión describe una identidad e?
  10. En (ℤ,·), ¿0 es identidad?

Después de esto

Referencias

  • I. N. Herstein, Topics in Algebra, 2.ª edición, John Wiley & Sons, 1975.