Conceptos básicos · Definición

Problema de valor inicial

ecuaciones diferencialescondiciones iniciales

Antes de empezar necesitas conocer

La solución general deja constantes libres; los datos iniciales de un fenómeno real las fijan y escogen una sola curva.

Definición

Un problema de valor inicial es el de hallar la solución de una ecuación diferencial que, además, toma valores dados en un punto dado.

\[y'=f(x,y),\qquad y(x_0)=y_0\]

Casi siempre sabemos cómo está el sistema en un instante: la población al empezar el experimento, la posición y la velocidad de una masa al soltarla. Esa información es la condición inicial. El procedimiento es siempre el mismo: hallar la solución general, sustituir el punto \((x_0,y_0)\) y despejar las constantes.

Por ejemplo, la solución general de \(y'=2y\) es \(y=Ce^{2x}\). Con \(y(0)=3\) se obtiene \(C=3\) y la solución buscada es \(y=3e^{2x}\). Geométricamente, la solución general es una familia de curvas y la condición inicial elige la que pasa por el punto dado.

El número de condiciones debe coincidir con el orden: una ecuación de primer orden pide un dato \(y(x_0)=y_0\); una de segundo orden pide dos, normalmente \(y(x_0)\) y \(y'(x_0)\). Con menos condiciones quedan constantes libres, como en \(y''=6x\) con solo \(y(0)=1\), que tiene infinitas soluciones.

Además, la solución de un problema de valor inicial vive en un intervalo que contiene a \(x_0\), y ese intervalo puede ser pequeño aunque la ecuación sea sencilla: \(y'=y^2\), \(y(0)=1\) da \(y=1/(1-x)\), válida solo en \((-\infty,1)\). Queda pendiente decidir cuándo existe solución y cuándo es única, lo que responde el siguiente concepto.

Para pensar

¿Cuántas constantes hay que fijar en una ecuación de tercer orden y qué datos iniciales se usan?

Tres: normalmente \(y(x_0)\), \(y'(x_0)\) y \(y''(x_0)\).

Ejercicios 10

  1. Resuelve \(y'=2y,\ y(0)=3\).
  2. Resuelve \(y'=2x,\ y(0)=5\).
  3. La solución general de \(y'=-y\) es \(y=Ce^{-x}\). Si \(y(0)=4\), ¿cuánto vale \(C\)?
  4. Resuelve \(y'=\cos x,\ y(0)=1\).
  5. ¿Cuál función resuelve \(y'=y,\ y(1)=e\)?
  6. Si \(y'=3x^2\) y \(y(1)=2\), ¿cuánto vale \(y(2)\)?
  7. Si \(y'=-2y\) y \(y(0)=1\), ¿cuánto vale \(y(\ln 2)\)?
  8. Resuelve \(y''=6x\) con \(y(0)=1\) y \(y'(0)=2\).
  9. La solución de \(y'=y^2,\ y(0)=1\) es \(y=\frac{1}{1-x}\). ¿Cuál es el intervalo más grande que contiene a \(0\) donde está definida?
  10. ¿Cuántas soluciones de \(y''=6x\) cumplen solo \(y(0)=1\)?

Referencias

  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §1.2
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §1.2