Aplicaciones de la derivada · Definición

Máximos y mínimos locales

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Antes de empezar necesitas conocer

Los extremos locales son los picos y valles de una función cerca de cada punto. Para hallarlos se buscan los puntos críticos y se clasifican con las derivadas.

Definición

Un máximo local de \(f\) en \(c\) es un valor \(f(c)\) mayor o igual que los valores de \(f\) en algún entorno de \(c\); un mínimo local, menor o igual.

\[f'(c)=0,\ f''(c)>0\ \Rightarrow\ \text{mínimo local}\]

Un máximo local es un punto más alto que todos sus vecinos cercanos; un mínimo local, más bajo. No tienen por qué ser los más altos o bajos de toda la función.

Para \(f(x)=x^{3}-3x\), la derivada \(f'(x)=3x^{2}-3\) se anula en \(x=\pm1\). Como \(f''(x)=6x\) vale \(-6\) en \(x=-1\), allí hay un máximo local, y en \(x=1\) vale \(6\), así que hay un mínimo local.

Error típico: creer que todo punto con \(f'(c)=0\) es extremo. En \(f(x)=x^{3}\), \(f'(0)=0\), pero \(f'\) no cambia de signo y \(x=0\) no es ni máximo ni mínimo local.

Para pensar

Si \(f'(a)=0\) y \(f''(a)>0\), ¿qué hay en a?

Un mínimo local, porque la gráfica es cóncava hacia arriba.

Ejercicios 10

  1. ¿En qué valor de x tiene \(f(x)=x^{3} - 3 x\) un máximo local?
  2. ¿En qué valor de x tiene \(f(x)=2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x\) un máximo local?
  3. ¿En qué valor de x tiene \(f(x)=x^{3} - 12 x + 5\) un máximo local?
  4. ¿En qué valor de x tiene \(f(x)=- x^{2} + 6 x\) un máximo local?
  5. ¿Cuándo es \(c\) un punto crítico de \(f\)?
  6. ¿Qué significa que \(f\) tenga un máximo local en \(c\)?
  7. ¿Qué tipo de extremo tiene \(f(x)=x^{2}-4x+1\) en \(x=2\)?
  8. ¿Es cierto que si \(f'(c)=0\), entonces \(c\) es extremo local de \(f\)?
  9. ¿Qué criterio clasifica un punto crítico según el signo de \(f''\)?
  10. ¿En qué valor de x tiene \(f(x)=x^{4}-2x^{2}\) un máximo local?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.