Vecindad de un punto

Una vecindad no tiene por qué ser abierta: basta que contenga un abierto alrededor del punto. Por eso \([0,2]\) es vecindad de \(1\) en \(\mathbb{R}\) aunque no sea abierto, mientras que no lo es de \(0\), pues ningún abierto que contenga al \(0\) cabe dentro de \([0,2]\). En cambio, todo abierto es vecindad de cada uno de sus puntos; por eso un conjunto es abierto exactamente cuando es vecindad de todos sus puntos.

Las vecindades de un punto \(x\) forman una familia estable: cualquier conjunto que contenga una vecindad de \(x\) es también vecindad de \(x\), y la intersección de dos vecindades de \(x\) vuelve a serlo. Cuando existe una vecindad contenida en todas las demás, se llama la vecindad mínima; en la topología trivial es \(X\), y en la topología discreta es \(\{x\}\).

Un error frecuente es creer que «vecindad» significa «bola abierta» o «conjunto pequeño». En un espacio métrico las bolas \(B(x,r)\) forman una base de vecindades, pero una vecindad puede ser enorme (por ejemplo, el propio \(X\)). Este concepto es la base para definir el interior de un conjunto, los puntos de acumulación y la continuidad en un punto.