Aplicaciones de la derivada · Definición
Problemas de optimización
Antes de empezar necesitas conocer
Aquí se modela una cantidad como función de una variable y se buscan sus valores extremos en un intervalo permitido.
Definición
Un problema de optimización busca el mayor o el menor valor de una cantidad sujeta a restricciones, expresada como función de una variable.
Optimizar es encontrar el mejor valor posible de algo (área máxima, costo mínimo) bajo una restricción. El trabajo real es modelar: elegir variables y escribir la cantidad a optimizar como función de una sola variable.
Luego se aplica lo ya sabido: derivar, hallar puntos críticos y comparar con los extremos del intervalo permitido. Siempre revisa que la respuesta tenga sentido (longitudes positivas, dominio).
Si una función continua está definida en un intervalo cerrado y acotado, el teorema del valor extremo asegura que alcanza un máximo y un mínimo.
Para pensar
Con 40 m de cerca, ¿qué rectángulo tiene el área máxima?
El cuadrado de 10 m por 10 m: A = x(20−x) se maximiza en x = 10.
Ejercicios 10
- Con 80 m de cerca se encierra un terreno rectangular. ¿Cuál es el área máxima posible, en m²?
- Con 120 m de cerca se encierra un terreno rectangular. ¿Cuál es el área máxima posible, en m²?
- Dos números positivos tienen producto 36. ¿Cuál es el menor valor posible de su suma?
- De una lámina cuadrada de 12 cm de lado se recortan cuadrados iguales en las esquinas y se dobla para formar una caja abierta. ¿Cuál es el volumen máximo, en cm³?
- ¿Cuál es el valor máximo de \(f(x)=-x^{2}+8x+5\)?
- Un rectángulo tiene perímetro 48 m. ¿Cuál es el área máxima posible, en m²?
- Dos números positivos suman 20. ¿Cuál es el mayor valor posible de su producto?
- ¿Cuál es el valor mínimo de \(f(x)=x^{2}-6x+13\)?
- ¿Qué es un punto crítico de una función \(f\)?
- Se quiere maximizar \(A(x)=x(10-x)\) en el intervalo \([0,4]\). ¿Cuál es el valor máximo?
Referencias
- James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.