Aplicaciones de la derivada · Definición

Concavidad y puntos de inflexión

cálculoaplicacionesgráficas

Antes de empezar necesitas conocer

La segunda derivada indica cómo se curva una gráfica, es decir, si la pendiente crece o decrece. Con ella se clasifica la concavidad y se hallan los puntos de inflexión.

Definición

Si \(f''>0\) en un intervalo, la gráfica es cóncava hacia arriba; si \(f''<0\), cóncava hacia abajo. Un punto de inflexión es donde cambia la concavidad.

\[\begin{gathered}f''>0\ \Rightarrow\ \text{cóncava hacia arriba}\\ f''<0\ \Rightarrow\ \text{cóncava hacia abajo}\end{gathered}\]

La primera derivada dice si la función sube o baja; la segunda dice cómo se curva. Si \(f''>0\) la gráfica es cóncava hacia arriba (como una taza); si \(f''<0\), hacia abajo.

Un punto de inflexión es donde la concavidad cambia. Ahí \(f''\) suele anularse y cambiar de signo.

Juntas, \(f'\) y \(f''\) permiten dibujar la forma de una gráfica sin evaluar muchos puntos.

Para pensar

¿Qué le pasa a \(f''\) en un punto de inflexión?

Cambia de signo (normalmente vale 0 allí).

Ejercicios 10

  1. ¿En qué valor de x tiene \(f(x)=x^{3} - 6 x^{2} + 9 x\) su punto de inflexión?
  2. ¿En qué valor de x tiene \(f(x)=x^{3} - 3 x^{2} + 1\) su punto de inflexión?
  3. ¿En qué valores de x tiene \(f(x)=x^{4} - 6 x^{2}\) puntos de inflexión?
  4. Para \(f(x)=x^{4}\), \(f''(0)=0\). ¿Tiene f un punto de inflexión en x = 0?
  5. ¿Qué indica que \(f''(x)>0\) en un intervalo?
  6. ¿Qué es un punto de inflexión de una gráfica?
  7. ¿En qué intervalo es cóncava hacia arriba la gráfica de \(f(x)=x^{3}\)?
  8. ¿Dónde está el punto de inflexión de \(f(x)=x^{3}-3x\)?
  9. ¿En qué valores de x tiene \(f(x)=x^{4}-4x^{3}\) puntos de inflexión?
  10. ¿Qué debe ocurrir con \(f''\) en un punto de inflexión?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.