Aplicaciones de la derivada · Definición

Puntos críticos

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Antes de empezar necesitas conocer

Un punto crítico es donde la derivada \(f'\) se anula o no existe. Estos puntos son los candidatos a extremos locales y guían el estudio del crecimiento de \(f\).

Definición

Un punto crítico de \(f\) es un número \(c\) del dominio donde \(f^{\prime}(c)=0\) o \(f^{\prime}(c)\) no existe. Los máximos y mínimos locales de una función en un punto interior ocurren en puntos críticos.

\[f'(c)=0\ \ \text{o}\ \ f'(c)\ \text{no existe}\]

Un punto crítico es un valor de \(x\) en el dominio donde \(f'(x)=0\) o \(f'\) no existe. Son los únicos candidatos a máximos y mínimos locales en el interior.

Cuidado: ser crítico no garantiza ser extremo. En \(x^3\), \(x=0\) es crítico y sin embargo la función sigue subiendo.

El procedimiento es: derivar, encontrar dónde se anula o falla, y luego clasificar con el signo de la derivada o la segunda derivada.

Para pensar

¿Es \(x=0\) un extremo de \(x^3\)?

No: \(f'(0)=0\) pero \(f'\) no cambia de signo; es crítico, no extremo.

Ejercicios 10

  1. Un punto crítico de f es un número c del dominio donde...
  2. ¿Cuáles son los puntos críticos de \(f(x)=x^{3} - 3 x\)?
  3. ¿Cuáles son los puntos críticos de \(f(x)=2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x\)?
  4. ¿Cuáles son los puntos críticos de \(f(x)=x^{4} - 4 x^{3}\)?
  5. ¿Cuáles son los puntos críticos de \(f(x)=x^{3} - 12 x + 5\)?
  6. ¿Qué valor de \(x\) es punto crítico de \(f(x)=x^{2}-6x\)?
  7. ¿Cuáles son los puntos críticos de \(f(x)=x^{4}-8x^{2}\)?
  8. ¿Cuántos puntos críticos tiene \(f(x)=x^{2/3}\) y cuáles son?
  9. Si \(f\) es derivable en \(c\), ¿qué condición hace de \(c\) un punto crítico?
  10. ¿Cuál es el punto crítico de \(f(x)=x e^{x}\)?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.