Distribución exponencial

Si los eventos llegan según un proceso de Poisson de tasa \(\lambda\), el tiempo hasta el primero es exponencial con parámetro \(\lambda\). La densidad \(\lambda e^{-\lambda x}\) decrece desde su máximo en 0, y la función de distribución es \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) para \(x\ge0\); por eso \(P(X>t)=e^{-\lambda t}\). Se escribe \(X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)\).

La esperanza y la varianza son \(E[X]=1/\lambda\) y \(\operatorname{Var}(X)=1/\lambda^2\), de modo que la desviación estándar coincide con la media. Las unidades importan: si \(\lambda\) son fallas por hora, \(1/\lambda\) son horas por falla. La mediana, \(\ln 2/\lambda\), queda por debajo de la media porque la cola derecha es larga.

Su propiedad distintiva es la falta de memoria: \(P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)\). Si una pieza ya funcionó \(s\) horas, su vida restante tiene la misma distribución que la de una pieza nueva. Entre las distribuciones continuas sobre \([0,\infty)\), solo la exponencial tiene esta propiedad.

Un error típico es usar \(\lambda\) en lugar de \(1/\lambda\) como media, o aplicar el modelo a componentes que se desgastan, donde el riesgo de falla crece con el tiempo y la falta de memoria no es realista. La exponencial es la versión continua de la geométrica y se relaciona con la Poisson, que cuenta los eventos en el mismo proceso.