Índice de un subgrupo

El índice se escribe \([G:H]\) y puede ser finito o infinito. En \(\mathbb{Z}\), el subgrupo \(n\mathbb{Z}\) tiene índice \(n\) porque sus clases laterales son los \(n\) residuos módulo \(n\); en cambio, el subgrupo trivial de \(\mathbb{Z}\) tiene índice infinito. Todo grupo tiene a sí mismo como único subgrupo de índice \(1\).

Que se cuenten clases izquierdas o derechas es indiferente: la asignación \(aH\mapsto Ha^{-1}\) es una biyección entre unas y otras, así que ambos conteos coinciden aunque las clases, como conjuntos, no lo hagan.

Cuando \(G\) es finito, todas las clases laterales tienen \(|H|\) elementos y forman una partición de \(G\); por eso \(|G|=[G:H]\,|H|\), y el índice es el cociente \(|G|/|H|\). Esta igualdad es el contenido del teorema de Lagrange, que se verá enseguida.

Un error frecuente es confundir el índice con el orden: en \(\mathbb{Z}_{12}\), el subgrupo \(\{0,3,6,9\}\) tiene orden \(4\) e índice \(3\). Los subgrupos de índice \(2\) merecen mención aparte: sus dos clases son \(H\) y \(G\setminus H\), y más adelante se verá que siempre son normales.