Sistemas y matrices · Definición

Sistema de ecuaciones lineales

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Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones de primer grado que deben cumplirse al mismo tiempo; es el problema con el que nace todo el álgebra lineal.

Definición

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales en las mismas incógnitas. Una solución es una asignación de valores que satisface todas las ecuaciones a la vez.

\[\begin{aligned}a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1\\ \vdots\qquad&\\ a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n&=b_m\end{aligned}\]

Los sistemas lineales aparecen mucho antes de que alguien les ponga nombre: cada vez que dos condiciones deben cumplirse a la vez, por ejemplo «el total de monedas es 10 y su valor suma 35 pesos», se obtiene una ecuación por condición y varias incógnitas. El álgebra lineal nace del deseo de resolver estos problemas de manera sistemática, sin depender del ingenio de cada caso.

Se llama lineal porque cada incógnita aparece solo a la primera potencia y multiplicada por un número; no hay productos entre incógnitas, ni cuadrados, ni funciones como \(\sin x\). Esa restricción es justo la que hace posible una teoría completa: en el plano, cada ecuación \(ax+by=c\) es una recta, y resolver el sistema es preguntar dónde se cortan. Dos rectas pueden cruzarse en un punto (solución única), coincidir (infinitas soluciones) o ser paralelas (ninguna).

Un ejemplo guía: \(x+y=3\) y \(x-y=1\) tienen como única solución \((2,1)\), pero \(x+y=3\) y \(2x+2y=6\) describen la misma recta, y \(x+y=3\) con \(x+y=5\) son incompatibles. Un error típico es creer que más ecuaciones que incógnitas implica que no hay solución, o lo contrario; lo que importa es si las ecuaciones son independientes y compatibles. Este concepto abre el curso: la matriz y la eliminación gaussiana son las herramientas para estudiarlo.

Para pensar

¿Puede un sistema lineal tener exactamente dos soluciones?

No. Si tiene dos soluciones distintas \(\mathbf x\) y \(\mathbf y\), toda combinación \(t\mathbf x+(1-t)\mathbf y\) también lo es, así que tiene infinitas. Las únicas opciones son cero, una o infinitas soluciones.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es lineal en las incógnitas \(x\) e \(y\)?
  2. Resuelve el sistema \(x+y=5,\; x-y=1\).
  3. ¿Cuál de los siguientes sistemas tiene a \((x,y)=(2,1)\) como solución?
  4. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema \(x+y=2,\; 2x+2y=4\)?
  5. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema \(x+y=1,\; x+y=3\)?
  6. ¿Para qué valor de \(k\) el sistema \(x+y=1,\; 2x+2y=k\) tiene infinitas soluciones?
  7. Resuelve el sistema \(x+y+z=6,\; x-y+z=2,\; 2x+y-z=1\).
  8. ¿Cuál es la matriz aumentada del sistema \(2x-y=3,\; x+4y=-1\)?
  9. ¿Para qué valores de \(k\) el sistema \(x+2y=1,\; 3x+ky=2\) tiene solución única?
  10. Sobre un sistema homogéneo (todos los términos independientes iguales a 0), ¿qué afirmación es siempre verdadera?

Referencias

  • Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §2.1
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024. §1.A