Ecuaciones lineales de orden superior · Definición

Principio de superposición

ecuaciones diferencialesorden superior

Antes de empezar necesitas conocer

Convierte unas pocas soluciones conocidas en toda una familia de soluciones, y es la razón de que las lineales se resuelvan «armando» piezas.

Definición

Dice que, si \(y_1\) y \(y_2\) son soluciones de una ecuación lineal homogénea \(L[y]=0\), toda combinación lineal suya con constantes \(c_1,c_2\) también lo es.

\[L[c_1y_1+c_2y_2]=c_1L[y_1]+c_2L[y_2]=0\]

Aquí \(L[y]\) es el lado izquierdo de la ecuación, por ejemplo \(L[y]=y''+py'+qy\). La clave es que \(L\) es lineal: \(L[c_1y_1+c_2y_2]=c_1L[y_1]+c_2L[y_2]\), propiedad que se hereda de la derivada. Si \(L[y_1]=L[y_2]=0\), el resultado es \(0\), y la combinación sigue siendo solución.

El principio falla en dos situaciones. Si la ecuación no es homogénea, \(y=0\) no es solución y un múltiplo de una solución se aleja del lado derecho: \(y=1\) resuelve \(y''+y=1\), pero \(y=2\) da \(2\). Si no es lineal, como \(y'=y^2\), tampoco funciona. En cambio, la diferencia de dos soluciones de \(L[y]=g\) sí resuelve la homogénea.

Con \(e^{2t}\) y \(e^{3t}\) en \(y''-5y'+6y=0\), todas las funciones \(c_1e^{2t}+c_2e^{3t}\) son soluciones, y las dos constantes permiten ajustar \(y(0)\) y \(y'(0)\). Falta saber cuándo dos soluciones bastan para generar todas; eso lo decide el wronskiano.

Para pensar

Si \(y_1\) y \(y_2\) resuelven \(y''+y=0\), ¿resuelve \(y_1y_2\) esa ecuación?

En general no: la superposición vale para combinaciones lineales, no para productos. Para \(y_1=y_2=\sin t\), \((\sin^2t)''+\sin^2t=2\cos2t+\sin^2t\neq0\).

Ejercicios 10

  1. Si \(e^{t}\) y \(e^{-t}\) resuelven \(y''-y=0\), ¿cuál de estas funciones también la resuelve?
  2. Si \(\cos 2t\) y \(\sin 2t\) resuelven \(y''+4y=0\), ¿cuál de estas funciones es solución?
  3. Si \(e^{2t}\) y \(e^{3t}\) resuelven \(y''-5y'+6y=0\), ¿cuánto vale en \(t=0\) la solución \(e^{2t}+4e^{3t}\)?
  4. ¿Por qué \(y=0\) es siempre solución de una ecuación lineal homogénea?
  5. Si \(e^{t}\) y \(e^{-2t}\) resuelven \(y''+y'-2y=0\), ¿qué valor de \(c\) hace que \(ce^{t}+e^{-2t}\) valga \(3\) en \(t=0\)?
  6. Si \(e^{-t}\) y \(e^{-2t}\) resuelven \(y''+3y'+2y=0\), ¿cuánto vale \(y'(0)\) para \(y=2e^{-t}+e^{-2t}\)?
  7. \(y=1\) resuelve \(y''+y=1\). ¿Resuelve \(y=2\) esa misma ecuación?
  8. \(y=-1/t\) resuelve \(y'=y^2\), pero \(y=-2/t\) no. ¿Por qué falla la superposición?
  9. \(y_1\) y \(y_2\) resuelven \(L[y]=g\) con \(g\neq0\). ¿Qué ecuación resuelve \(y_1-y_2\)?
  10. Si \(y_1\) resuelve \(L[y]=0\) y \(c\) es una constante, ¿qué vale \(L[cy_1]\)?

Referencias

  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 12th edition, Wiley, 2021. §3.2
  • Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11th edition, Cengage, 2018. §4.1