Ecuaciones diferenciales numéricas · Definición

Métodos de Runge-Kutta

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Antes de empezar necesitas conocer

Euler avanza con una sola evaluación de la pendiente por paso, lo que limita su precisión. Runge-Kutta mejora esa aproximación combinando varias pendientes calculadas en puntos intermedios.

Definición

Los métodos de Runge-Kutta son familias de esquemas numéricos de un paso que aproximan la solución de un problema de valor inicial evaluando la función \(f\) en varios puntos intermedios dentro de cada paso.

\[y_{n+1}=y_n+h\sum_{i=1}^{s} b_i k_i\]

Un método de Runge-Kutta de \(s\) etapas se define mediante coeficientes \(a_{ij}\), \(b_i\) y \(c_i\), con \(k_i=f(t_n+c_ih,\ y_n+h\sum_j a_{ij}k_j)\). Si los coeficientes satisfacen las condiciones de orden, el error local es \(O(h^{p+1})\) y el global es \(O(h^p)\). El método clásico de cuarto orden usa cuatro etapas y es el más empleado en la práctica.

Para \(y'=y\), \(y(0)=1\) y \(h=0.1\), el método RK4 da \(y_1\approx 1.105171\), muy cercano a \(e^{0.1}\), mientras que Euler da \(1.1\). Esta comparación muestra cómo más evaluaciones por paso reducen el error sin cambiar el tamaño de \(h\). Las etapas se calculan en orden, porque cada \(k_i\) depende de las anteriores en métodos explícitos.

Un error típico es confundir el orden del método con el número de etapas, pues un método de cuatro etapas no es necesariamente de cuarto orden. Otro fallo habitual es usar \(y_n\) en lugar de \(y_n+h\sum a_{ij}k_j\) al evaluar \(k_i\). Verificar las condiciones de orden evita ambos errores.

Para pensar

¿Por qué un método de cuatro etapas no garantiza automáticamente orden cuatro?

Porque el orden depende de las condiciones sobre \(a_{ij}\), \(b_i\) y \(c_i\); las etapas solo fijan una cota superior del orden alcanzable.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuántas etapas tiene el método clásico RK4?
  2. ¿Qué método de Runge-Kutta coincide con el método de Euler explícito?
  3. ¿Qué orden de error global tiene el método RK4?
  4. En un método explícito de Runge-Kutta, ¿qué tipo de matriz de coeficientes \(a_{ij}\) tiene forma triangular?
  5. ¿Cuál es el valor de \(c_1\) en cualquier método explícito de Runge-Kutta?
  6. Para \(y'=2y\), \(y(0)=1\) y \(h=0.5\), ¿cuál es \(y_1\) con el método de Euler?
  7. Un método de Runge-Kutta tiene \(c_2=1/2\), \(a_{21}=1/2\), \(b_1=0\), \(b_2=1\). ¿Cuál es el valor de \(b_1+b_2\)?
  8. Con \(y'=y\), \(y(0)=1\) y \(h=0.2\), ¿cuál es la pendiente \(k_1\) en el primer paso de cualquier método de Runge-Kutta explícito?
  9. Para \(y'=t+y\), \(y(0)=1\), ¿cuál es \(k_1\) en el primer paso?
  10. Para el método de punto medio con \(y'=y\), \(y(0)=1\), \(h=0.2\), ¿cuál es \(y_1\)? Usa \(k_1=f(t_0,y_0)\), \(k_2=f(t_0+h/2,\ y_0+hk_1/2)\), \(y_1=y_0+hk_2\).

Referencias

  • Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th edition, Cengage Learning, 2016.
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, 1st edition, SIAM, 1997.