Continuidad de funciones · Definición

Teorema del valor intermedio

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Antes de empezar necesitas conocer

Este teorema formaliza una idea intuitiva: una función continua no puede pasar de un valor a otro sin tomar todos los valores intermedios.

Definición

Si \(f\) es continua en \([a,b]\) y \(N\) está entre \(f(a)\) y \(f(b)\), existe algún \(c\in(a,b)\) con \(f(c)=N\).

\[f\ \text{continua en }[a,b],\ f(a)

Si dibujas una curva continua que empieza por debajo del eje y termina por encima, tiene que cruzarlo en algún momento. El teorema del valor intermedio dice exactamente eso, para cualquier nivel entre \(f(a)\) y \(f(b)\).

Es un teorema de existencia: garantiza que hay una solución de \(f(x)=N\), pero no dice dónde. Por eso se usa para demostrar que una ecuación tiene raíz y, junto con bisección, para aproximarla.

La continuidad es imprescindible: una función con un salto puede «saltarse» valores.

Para pensar

Muestra que \(x^3+x-1=0\) tiene una raíz en [0,1].

La función es continua, f(0)=−1<0 y f(1)=1>0; por el teorema del valor intermedio hay c en (0,1) con f(c)=0.

Demuestra que la ecuación \(\cos x=x\) tiene solución en \([0,1]\).

Sea \(h(x)=\cos x-x\), continua. Entonces \(h(0)=1>0\) y \(h(1)=\cos1-1<0\), así que hay \(c\in(0,1)\) con \(h(c)=0\), es decir \(\cos c=c\).

Ejercicios 20

  1. Sea \(f(x)=x^{3}+x-1\). ¿En cuál intervalo garantiza el teorema del valor intermedio una raíz?
  2. Sea \(f(x)=x^{2}-3\). ¿En cuál intervalo garantiza el teorema del valor intermedio una raíz?
  3. Sea \(f(x)=\cos x-x\). ¿En cuál intervalo garantiza el teorema del valor intermedio una raíz?
  4. ¿Qué hipótesis sobre \(f\) exige el teorema del valor intermedio en \([a,b]\)?
  5. Si \(N\) está entre \(f(a)\) y \(f(b)\), ¿qué afirma el teorema del valor intermedio?
  6. Sea \(f(x)=x^{3}-x-1\). ¿En cuál intervalo garantiza el teorema del valor intermedio una raíz?
  7. Sea \(f\) continua en \([0,4]\) con \(f(0)=2\) y \(f(4)=-1\). ¿Qué se puede garantizar?
  8. Sea \(f(x)=1/x\) en \([-1,1]\). ¿Se puede usar el teorema para hallar \(c\) con \(f(c)=0\)?
  9. ¿Qué tipo de resultado es el teorema del valor intermedio?
  10. Sea \(f\) continua en \([1,3]\) con \(f(1)=4\) y \(f(3)=-2\). ¿Qué afirmación queda garantizada?
  11. Sea \(f(x)=x^3-x-1\) en \([1,2]\). Como \(f(1)=-1\) y \(f(2)=5\), ¿qué garantiza el teorema del valor intermedio?
  12. Para \(f(x)=x^2\) en \([0,3]\), ¿qué \(c\in[0,3]\) cumple \(f(c)=5\)?
  13. Sea \(f(x)=\cos x\) en \([0,\pi]\). ¿Para cuál valor \(y\) garantiza el teorema que existe \(c\) con \(f(c)=y\)?
  14. Sea \(f(x)=x^2-3\) en \([1,2]\). Al evaluar el punto medio \(1.5\), ¿en qué intervalo queda garantizada una raíz?
  15. ¿Por qué no se puede usar el teorema para asegurar un cero de \(f(x)=1/x\) en \([-1,1]\), si \(f(-1)=-1\) y \(f(1)=1\)?
  16. Sea \(g\) continua en \([0,1]\) con \(0\le g(x)\le1\). Para probar que \(g(c)=c\) para algún \(c\), ¿a qué función se le aplica el teorema?
  17. Para \(p(x)=x^3+x+1\), ¿en cuál intervalo el teorema asegura una raíz?
  18. Sea \(f\) continua en \([0,1]\) con \(f(0)=2\) y \(f(1)=5\). ¿Cuál afirmación es necesariamente verdadera?
  19. Sea \(f(x)=\lfloor x\rfloor\) (parte entera) en \([0,2]\), con \(f(0)=0\) y \(f(2)=2\). Nunca vale \(\tfrac12\). ¿Por qué no contradice el teorema?
  20. ¿Cuántas raíces reales tiene \(f(x)=x^3-3x\) en \([-2,2]\), donde \(f(-2)=-2\) y \(f(2)=2\)?

Después de esto

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
  • Michael Spivak, Calculus, 4.ª edición, Publish or Perish, 2008.
  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §4.5, Teorema 4.5.1
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 4, Teorema 4.23
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §5.3, Teorema 5.3.7