Integración y derivación numérica · Definición

Regla de Simpson

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Antes de empezar necesitas conocer

Cuando la regla del trapecio es demasiado imprecisa, la regla de Simpson mejora la aproximación usando parábolas en lugar de rectas. Se apoya en la interpolación polinomial para construir ese ajuste cuadrático.

Definición

La regla de Simpson es un método de cuadratura numérica que aproxima \(\int_a^b f(x)\,dx\) integrando un polinomio cuadrático que interpola \(f\) en \(a\), \(\frac{a+b}{2}\) y \(b\).

\[\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)], h=\frac{b-a}{2}\]

La regla de Simpson compuesta divide \([a,b]\) en un número par \(n\) de subintervalos de ancho \(h=\frac{b-a}{n}\) y aplica la regla simple a cada par de subintervalos. Su error es de orden \(O(h^4)\), y la regla simple es exacta para polinomios de grado hasta 3, una ventaja frente al trapecio, que solo es exacto para grado 1. El término de error depende de la cuarta derivada \(f^{(4)}\), de modo que la fórmula gana precisión en funciones suaves.

Para aproximar \(\int_0^2 x^4\,dx\) con la regla simple, se toman \(f(0)=0\), \(f(1)=1\) y \(f(2)=16\). Entonces \(\frac{1}{3}\left[0+4(1)+16\right]=\frac{20}{3}\approx 6.67\), frente al valor exacto \(\frac{32}{5}=6.4\). El resultado muestra la aproximación y su error sin necesidad de subdividir el intervalo.

Un error típico es olvidar que la regla compuesta exige un número par de subintervalos y aplicar la fórmula con \(n\) impar, lo que produce una aproximación inválida. Otro error frecuente es usar los pesos \(1,4,1\) sin multiplicar por \(\frac{h}{3}\), lo que escala mal el resultado. Verificar que el ancho \(h\) corresponde a la partición elegida evita ambos problemas.

Para pensar

¿Por qué la regla simple de Simpson integra exactamente las cúbicas si solo usa una parábola?

Porque los nodos y los pesos son simétricos respecto al punto medio, y el error depende de \(f^{(4)}\), que vale cero para cualquier cúbica.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuántos subintervalos exige la regla compuesta de Simpson?
  2. ¿Qué grado polinomial integra exactamente la regla de Simpson simple?
  3. ¿Qué puntos se usan en la regla simple de Simpson sobre \([a,b]\)?
  4. ¿Qué pesos aparecen en la regla simple de Simpson antes del factor \(\frac{h}{3}\)?
  5. ¿Qué derivada aparece en el término de error de la regla de Simpson?
  6. Aplica la regla simple de Simpson a \(\int_0^2 x^2\,dx\). ¿Cuál es el resultado?
  7. Usando la regla simple de Simpson, ¿cuánto vale aproximadamente \(\int_0^1 e^x\,dx\)?
  8. Con la regla compuesta de Simpson y \(n=4\) en \([0,4]\), ¿cuál es el ancho \(h\) de cada subintervalo?
  9. ¿Cuál es el valor de la regla compuesta de Simpson con \(n=2\) para \(\int_0^2 x^3\,dx\)?
  10. Aplica la regla compuesta de Simpson con \(n=4\) a \(\int_0^4 x^2\,dx\). ¿Qué valor obtienes?

Después de esto

Referencias

  • Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th edition, Cengage Learning, 2016.
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, 1st edition, SIAM, 1997.