Álgebra lineal numérica · Definición

Factorización de Cholesky

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Antes de empezar necesitas conocer

Cuando una matriz es simétrica y definida positiva, puede factorizarse con la mitad del esfuerzo de la factorización LU. Este método aprovecha la simetría para resolver sistemas lineales de forma estable.

Definición

La factorización de Cholesky descompone una matriz simétrica definida positiva \(A\) como \(A = LL^{T}\), con \(L\) triangular inferior con diagonal positiva.

\[A = LL^{T}, \; l_{jj} = \sqrt{a_{jj} - \sum_{k

Si \(A\) es simétrica definida positiva, su factorización \(A = LL^{T}\) existe y es única con diagonal de \(L\) positiva. Las entradas se obtienen columna a columna: \(l_{jj}=\sqrt{a_{jj}-\sum_{k<j}l_{jk}^{2}}\) y \(l_{ij}=(a_{ij}-\sum_{k<j}l_{ik}l_{jk})/l_{jj}\) para \(i>j\).

Para \(A=\begin{pmatrix}4&2\\2&5\end{pmatrix}\), se tiene \(l_{11}=2\), \(l_{21}=1\) y \(l_{22}=\sqrt{5-1}=2\), de modo que \(L=\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}\). Así se comprueba que \(LL^{T}=A\).

Un error típico es aplicar la fórmula a una matriz simétrica que no es definida positiva, donde la raíz de un número negativo aparece. Otro error frecuente es olvidar que \(L^{T}\) es la transpuesta de \(L\), no su inversa.

Para pensar

Si una matriz simétrica tiene un autovalor negativo, ¿qué ocurre al intentar calcular \(l_{jj}\)?

Aparece la raíz de un número negativo o nulo en algún \(l_{jj}\), así que la factorización no existe porque la matriz no es definida positiva.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué propiedad debe cumplir una matriz \(A\) para poder aplicar la factorización de Cholesky?
  2. ¿Qué forma tiene el factor \(L\) en \(A = LL^{T}\)?
  3. Si \(L\) es el factor de Cholesky, ¿qué expresa la igualdad \(A = LL^{T}\)?
  4. ¿Cuál es el elemento \(l_{11}\) del factor de Cholesky cuando \(a_{11}=9\)?
  5. ¿Cuál es la relación de Cholesky frente a LU para una matriz simétrica definida positiva?
  6. Calcula \(l_{11}\) y \(l_{21}\) para \(A=\begin{pmatrix}4&2\\2&5\end{pmatrix}\).
  7. Si \(a_{22}=10\) y \(l_{21}=3\), ¿cuál es \(l_{22}\)?
  8. Para \(A=\begin{pmatrix}9&3\\3&5\end{pmatrix}\), ¿cuál es el factor \(L\)?
  9. Si \(L=\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}\), ¿cuál es el producto \(LL^{T}\)?
  10. Resuelve \(Ax=b\) con \(A=\begin{pmatrix}4&2\\2&5\end{pmatrix}\) y \(b=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\) usando \(L\) de Cholesky. ¿Cuál es \(x\)?

Referencias

  • Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th edition, Cengage Learning, 2016.
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, 1st edition, SIAM, 1997.