Integración y derivación numérica · Definición

Diferencias finitas para derivadas

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Al discretizar un dominio, la derivada deja de ser un límite y pasa a ser un cociente entre diferencias. Esta idea es la base de muchos métodos para EDO y EDP.

Definición

Las diferencias finitas son aproximaciones de derivadas de una función \(f\) a partir de sus valores en puntos discretos separados por un paso \(h\).

\[f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Las fórmulas progresiva, regresiva y centrada son las más usadas. Según el teorema de Taylor, la progresiva tiene error \(O(h)\), mientras que la centrada tiene error \(O(h^2)\) gracias a la cancelación de los términos de orden impar.

Supongamos \(f(x)=\sin x\) en \(x=1\) con \(h=0.1\). La progresiva da \(\frac{\sin 1.1-\sin 1}{0.1}\approx 0.4974\), frente a \(\cos 1\approx 0.5403\), mientras que la centrada da \(\frac{\sin 1.1-\sin 0.9}{0.2}\approx 0.5394\), mucho más precisa.

Un error típico es reducir \(h\) indefinidamente. Para valores muy pequeños, el redondeo en la resta de números casi iguales domina el error total, de modo que existe un \(h\) óptimo.

Para pensar

¿Por qué la fórmula centrada tiene error \(O(h^2)\) y la progresiva solo \(O(h)\), si ambas usan el mismo paso \(h\)?

Porque al restar \(f(x+h)\) y \(f(x-h)\) se cancelan los términos de orden impar del desarrollo de Taylor, mientras que la progresiva conserva un término de orden \(h\).

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál es la fórmula de la diferencia finita progresiva para \(f'(x)\)?
  2. ¿Cuál es la fórmula de la diferencia finita regresiva para \(f'(x)\)?
  3. ¿Cuál es la fórmula de la diferencia finita centrada para \(f'(x)\)?
  4. En diferencias finitas, ¿qué representa \(h\)?
  5. Se tiene \(f(1)=2\) y \(f(1.1)=2.5\). ¿Cuál es la aproximación progresiva de \(f'(1)\) con \(h=0.1\)?
  6. Sea \(f(x)=x^2\). Calcula la aproximación centrada de \(f'(2)\) con \(h=0.5\).
  7. Si en la fórmula centrada se reduce \(h\) a la mitad, ¿cómo cambia aproximadamente el error de truncamiento?
  8. Desarrollando \(f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)+\cdots\), ¿cuál es el término principal del error de \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'(x)\)?
  9. Al discretizar un dominio, ¿qué sustituye a la derivada en el método de diferencias finitas?
  10. Con \(f(0)=1\), \(f(0.2)=1.44\) y \(f(-0.2)=0.84\), ¿cuál es la aproximación centrada de \(f'(0)\) con \(h=0.2\)?

Referencias

  • Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th edition, Cengage Learning, 2016.
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, 1st edition, SIAM, 1997.