Ecuaciones diferenciales numéricas · Definición

Error local y global

métodos numéricosecuaciones diferenciales numéricas

Antes de empezar necesitas conocer

Al aproximar una ecuación diferencial paso a paso, cada paso introduce un pequeño fallo. Medir cómo se acumulan esos fallos permite saber si un método es confiable.

Definición

El error local es la diferencia entre la solución exacta de la EDO en un paso y la aproximación del método partiendo del valor exacto.

\[e_{n+1}=y(t_{n+1})-y_{n+1}\]

Si el método de Euler tiene error local de orden \(O(h^2)\), el error global de orden \(O(h)\) suele ser una potencia menos, porque el error local se acumula sobre aproximadamente \(1/h\) pasos. Esta relación es la base del análisis de convergencia.

Considera \(y'=y\), \(y(0)=1\), con \(h=0.1\). Tras el primer paso de Euler se obtiene \(y_1=1.1\), mientras que \(y(0.1)=e^{0.1}\approx1.10517\), así que el error local es aproximadamente \(0.00517\).

Un error típico es confundir el error local con el global y creer que un método con error local pequeño tendrá necesariamente un error global igual de pequeño. Además, el error global depende también de la estabilidad del método.

Para pensar

¿Por qué un método con error local pequeño puede tener un error global grande?

Porque los errores locales se acumulan y propagan en cada paso, y la estabilidad del método puede amplificarlos.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué mide el error local en un método numérico para EDO?
  2. ¿Qué mide el error global en un método numérico para EDO?
  3. Si el error local de un método es \(O(h^2)\), ¿qué orden tiene típicamente el error global?
  4. Con el método de Euler, ¿cuál es el paso de error local al calcular \(y_{n+1}\) desde \(y(t_n)\)?
  5. ¿Qué describe mejor la acumulación de errores locales en el error global?
  6. Con \(y'=y\), \(y(0)=1\) y \(h=0.1\), ¿cuál es aproximadamente el error local del primer paso de Euler?
  7. Si al reducir h a la mitad el error global de Euler se divide aproximadamente por dos, ¿qué orden tiene el error global?
  8. Si el error local de un paso es \(C h^3\), ¿cuántos pasos aproximados se acumulan en el intervalo \([0,1]\)?
  9. Un método tiene error local \(O(h^2)\). Si h pasa de 0.1 a 0.05, ¿cómo cambia aproximadamente el error global si el orden global es \(O(h)\)?
  10. Para \(y'=-2y\), \(y(0)=1\) y \(h=0.1\), el primer paso de Euler da \(y_1=0.8\). Si el error local de ese paso es \(0.0187\), ¿cuál es el error local relativo aproximado respecto a \(y(0.1)=e^{-0.2}\approx0.81873\)?

Referencias

  • Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th edition, Cengage Learning, 2016.
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, 1st edition, SIAM, 1997.