Aplicaciones de la derivada · Definición

Teorema de Rolle

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Antes de empezar necesitas conocer

Rolle garantiza una tangente horizontal en el interior cuando \(f\) toma el mismo valor en los dos extremos del intervalo.

Definición

Si \(f\) es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y \(f(a)=f(b)\), existe al menos un \(c\in(a,b)\) con \(f^{\prime}(c)=0\).

\[f(a)=f(b)\ \Rightarrow\ \exists\,c\in(a,b):\ f'(c)=0\]

La continuidad en \([a,b]\) garantiza que \(f\) alcance un máximo y un mínimo. Si uno de ellos está en \((a,b)\), el teorema de Fermat exige \(f'=0\) allí; si ambos están en los extremos, \(f\) es constante y \(f'=0\) en todo punto.

Ejemplo guía: para \(f(x)=x^{2}-4x+3\) en \([1,3]\), \(f(1)=f(3)=0\) y \(f'(x)=2x-4\). Al resolver \(2c-4=0\) se obtiene \(c=2\), que está en \((1,3)\).

Error típico: olvidar que \(f\) debe ser derivable en \((a,b)\). En \(f(x)=|x|\) sobre \([-1,1]\) hay continuidad e igualdad de extremos, pero no es derivable en \(0\) y ningún \(c\) da \(f'(c)=0\).

Para pensar

¿Qué tres hipótesis necesita el teorema de Rolle?

Continuidad en [a,b], derivabilidad en (a,b) y f(a)=f(b).

¿Se puede aplicar Rolle a \(f(x)=\tan x\) en \([0,\pi]\) aunque \(f(0)=f(\pi)=0\)?

No. \(\tan x\) no está definida en \(\pi/2\), así que no es continua en \([0,\pi]\). De hecho \(f'(x)=\sec^2x\ge1\) nunca se anula.

Ejercicios 20

  1. Verifica el teorema de Rolle para \(f(x)=x^{2} - 4 x + 3\) en \([1,3]\) y halla c con \(f'(c)=0\).
  2. Verifica el teorema de Rolle para \(f(x)=\sin x\) en \([0,\pi]\) y halla c con \(f'(c)=0\).
  3. ¿Cuál de estas condiciones NO es una hipótesis del teorema de Rolle?
  4. ¿En cuál de estos casos NO se cumplen las hipótesis de Rolle?
  5. Si se cumplen las hipótesis de Rolle en \([a,b]\), ¿qué afirma la tesis?
  6. Para \(f(x)=x^{3}-x\) en \([-1,1]\), ¿cuál de estos valores cumple \(f'(c)=0\) con \(c\in(-1,1)\)?
  7. Para \(f(x)=x^{2}\) en \([0,2]\), ¿qué \(c\in(0,2)\) cumple \(f'(c)=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}\)?
  8. ¿Cuál de estos casos cumple continuidad y \(f(a)=f(b)\), pero no tiene ningún \(c\in(a,b)\) con \(f'(c)=0\)?
  9. ¿Qué significa geométricamente el teorema de Rolle?
  10. Para \(f(x)=x^{2}-6x+5\) en \([1,5]\), ¿qué valor de \(c\in(1,5)\) cumple \(f'(c)=0\)?
  11. Para \(f(x)=x^2-4x+3\) en \([1,3]\), ¿qué punto \(c\) garantiza el teorema de Rolle?
  12. Para \(f(x)=\sin x\) en \([0,\pi]\), ¿en qué punto se anula \(f'\)?
  13. ¿Qué hipótesis del teorema de Rolle falla para \(f(x)=x\) en \([0,1]\)?
  14. Para \(f(x)=x^3-x\) en \([0,1]\), ¿cuánto vale el punto \(c\in(0,1)\) con \(f'(c)=0\)?
  15. Para \(f(x)=x^3-3x\) en \([-\sqrt3,\sqrt3]\), ¿qué valores de \(c\) cumplen \(f'(c)=0\)?
  16. Para \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\) en \([-1,1]\), ¿se aplica el teorema de Rolle y qué punto da?
  17. Sea \(f(x)=x\) si \(0\le x<1\) y \(f(1)=0\). ¿Por qué no se cumple la conclusión de Rolle en \([0,1]\)?
  18. Una función derivable en \(\mathbb R\) tiene tres ceros distintos. ¿Cuántos ceros distintos tiene como mínimo \(f'\)?
  19. Sea \(p(x)=x^3+3x+1\). ¿Cuántas raíces reales tiene \(p\)?
  20. Si \(f\) es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y \(f(a)=f(b)\), ¿qué dice además el teorema sobre el signo de \(f'\)?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
  • Michael Spivak, Calculus, 4.ª edición, Publish or Perish, 2008.
  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §5.3, Teorema 5.3.1
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 5, Teorema 5.10
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §6.2, Teorema 6.2.3