Raíces de ecuaciones · Definición

Método de bisección

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Antes de empezar necesitas conocer

Es uno de los métodos más simples para localizar raíces y su convergencia está garantizada por el teorema del valor intermedio. Su ritmo es lento, pero su comportamiento es predecible.

Definición

El método de bisección es un algoritmo iterativo que aproxima una raíz de una función continua \( f(x) \) en un intervalo \( [a, b] \) con cambio de signo, dividiendo el intervalo a la mitad en cada paso.

\[c_n = \frac{a_n + b_n}{2},\quad |c_n - r| \le \frac{b-a}{2^{n+1}}\]

Si \( f \) es continua en \( [a, b] \) y \( f(a) \cdot f(b) < 0 \), el teorema del valor intermedio asegura una raíz en \( (a, b) \). Tras \( n \) iteraciones el error de la aproximación \( c_n \) es a lo sumo \( \frac{b - a}{2^{n+1}} \), por lo que cada paso reduce la cota del error a la mitad. El método no requiere derivadas, solo evaluaciones de \( f \).

Para f(x) = x² − 2 en [1, 2], f(1) = −1 y f(2) = 2, así que hay una raíz en (1, 2). El punto medio c = 1.5 da f(1.5) = 0.25 > 0, de modo que la raíz está en [1, 1.5]; repitiendo el proceso, el intervalo se acerca a √2 ≈ 1.41421.

Un error típico es aplicar el método a un intervalo donde f(a) y f(b) tienen el mismo signo, lo que puede ocultar raíces o descartar la que sí existe. Otro error frecuente es usar el criterio de paro solo sobre f(c) pequeño, cuando lo importante es el tamaño del intervalo o del error.

Para pensar

¿Por qué bisección converge siempre si \( f \) es continua y cambia de signo, aunque \( f \) sea muy irregular?

En cada paso conserva un subintervalo con cambio de signo, que contiene una raíz por el teorema del valor intermedio, y su longitud se reduce a la mitad, así que tiende a cero.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué condición de signos en los extremos del intervalo [a, b] se necesita para aplicar el método de bisección?
  2. ¿Cuál es el punto medio del intervalo [2, 5]?
  3. Si el intervalo inicial tiene longitud 4, ¿cuál es la longitud después de una iteración?
  4. ¿Qué teorema garantiza que existe una raíz en el intervalo donde hay cambio de signo?
  5. ¿Qué se necesita evaluar en cada iteración del método de bisección?
  6. Para f(x) = x³ − x − 2 en [1, 2], ¿cuál es el primer punto medio c?
  7. Para \( f(x) = x^3 - x - 2 \) en \( [1, 2] \), \( f(1) = -2 \) y \( f(1.5) = -0.125 \). ¿En qué subintervalo está la raíz?
  8. Si el error tras \( n \) iteraciones es a lo sumo \( (b - a)/2^{n+1} \), ¿cuál es el menor número de iteraciones que garantiza un error menor que \( 0.001 \) en \( [0, 1] \)?
  9. Para f(x) = cos(x) − x en [0, 1], ¿qué signo tienen f(0) y f(1)?
  10. Sea f continua en [a, b] con f(a) = 1 y f(b) = 3. ¿Puede el método de bisección garantizar una raíz en [a, b]? Justifica con un contraejemplo si no.

Referencias

  • Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th edition, Cengage Learning, 2016.
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, 1st edition, SIAM, 1997.