Interpolación y splines · Definición

Error de interpolación

métodos numéricosinterpolación y splines

Antes de empezar necesitas conocer

Al aproximar una función por un polinomio interesa saber cuánto se equivoca esa aproximación entre los nodos. Este error se controla con una fórmula que combina derivadas de orden superior y la posición de los puntos.

Definición

El error de interpolación es la diferencia entre \(f(x)\) y el polinomio \(P(x)\) que la aproxima en los nodos \(x_0,\dots,x_n\); depende de \(f^{(n+1)}\) y de \(\prod(x-x_i)\).

\[f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)\]

La fórmula del error establece que, si f es n+1 veces continuamente derivable en \([a,b]\), existe un \(\xi\) en el intervalo tal que el error en x es \(\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)\). Su demostración usa el teorema de Rolle aplicado repetidamente a una función auxiliar que se anula en todos los nodos. El error es cero en cada nodo porque el producto se anula allí.

Para \(f(x)=\sin(x)\) con nodos \(0,\ \pi/2,\ \pi\) y \(n=2\), la cota es \(|f(x)-P_2(x)|\le \frac{1}{3!}\max|\,(x)(x-\pi/2)(x-\pi)|\). Como \(|\sin^{(3)}|\le 1\), se obtiene una cota explícita que se evalúa en el intervalo de interés.

Un error típico es olvidar que \(\xi\) depende de x y tratarlo como un valor fijo conocido. Otro es usar \((n+1)!\) en lugar de \(n!\), lo que da una cota demasiado grande o pequeña según el caso.

Para pensar

¿Por qué la fórmula del error da una cota y no el valor exacto del error en un punto?

Porque \(\xi\) es desconocido y solo se sabe que está en el intervalo, así que la fórmula solo permite acotar el error.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál es el factor de error \(\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)\) para nodos \(x_0=0,\ x_1=1\)?
  2. ¿Cuál es el valor de \((n+1)!\) cuando \(n=3\)?
  3. En la fórmula del error, ¿qué derivada aparece para un polinomio de grado \(n\)?
  4. ¿En qué puntos se anula el error de interpolación?
  5. ¿Qué teorema se usa en la demostración de la fórmula del error?
  6. Para \(f(x)=e^x\) con nodos \(0,1\) (\(n=1\)), ¿cuál es la cota del error en \(x=0.5\) si \(|f''|\le e\) en \([0,1]\)?
  7. Con nodos \(x_0=0,\ x_1=2\) y \(f(x)=x^3\) (\(n=1\)), ¿cuál es el valor de \(\prod(x-x_i)\) en \(x=1\)?
  8. Si \(|f'''(x)|\le 6\) y nodos \(0,1,2\) (\(n=2\)), ¿cuál es la cota en \(x=0.5\)?
  9. Para \(f(x)=\cos(x)\) con nodos \(0,\pi\) (\(n=1\)), ¿cuál es la cota en \(x=\pi/2\) usando \(|f''|\le 1\)?
  10. Con \(f(x)=\ln(x)\) y nodos \(1,2,3\) (\(n=2\)), ¿qué cota del error en \(x=2.5\) se obtiene usando \(|f'''(x)|=2/x^3\le 2\) en \([1,3]\)?

Después de esto

Referencias

  • Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th edition, Cengage Learning, 2016.
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, 1st edition, SIAM, 1997.