Integración y derivación numérica · Definición

Regla del trapecio

métodos numéricosintegración y derivación numérica

Antes de empezar necesitas conocer

Es una de las primeras reglas de integración numérica que se estudian. Su idea geométrica es sencilla: sumar áreas de trapecios en lugar de áreas de rectángulos.

Definición

La regla del trapecio es un método de cuadratura que aproxima la integral definida de una función \(f\) en \([a,b]\) reemplazando la curva por una recta que une \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\).

\[\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(b)\right]\]

Si \(f\) tiene segunda derivada continua en \([a,b]\), el error de la regla compuesta con paso \(h=(b-a)/n\) es \(-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi)\) para algún \(\xi\in(a,b)\), así que el error es de orden \(O(h^2)\). La regla es exacta para polinomios de grado 1, porque una recta coincide con su trapecio.

Ejemplo guía: para \(\int_0^1 x^2\,dx\) con \(n=2\) (\(h=0.5\)), se obtiene \(\frac{0.5}{2}[0+2(0.25)+1]=0.375\), frente al valor exacto \(1/3\); el error \(0.0417\) coincide con la cota del término de error.

Error típico: aplicar la fórmula con \(n\) subintervalos pero usar \(h=(b-a)/(n-1)\), o multiplicar por \(h\) en lugar de \(h/2\) en los extremos. Otro error frecuente es olvidar el coeficiente 2 de los nodos interiores.

Para pensar

¿Por qué el error de la regla del trapecio depende de \(f''\) y no de \(f'\)?

Porque la regla usa una recta por cada subintervalo, y \(f''\) mide cuánto se separa la curva de esa recta; si \(f''=0\), el error es nulo.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál es el paso \(h\) al aplicar la regla compuesta del trapecio a \(\int_0^2 f(x)\,dx\) con \(n=4\) subintervalos?
  2. ¿Qué forma geométrica usa la regla del trapecio en cada subintervalo?
  3. ¿Cuál es el coeficiente de \(f(x_i)\) para un nodo interior \(x_i\) en la regla compuesta del trapecio?
  4. ¿Para qué tipo de funciones la regla del trapecio es exacta?
  5. ¿Cuál es el orden del error de la regla compuesta del trapecio respecto al paso \(h\)?
  6. Aplica la regla compuesta del trapecio a \(\int_0^2 x^2\,dx\) con \(n=2\). ¿Qué valor obtienes?
  7. Usando la regla del trapecio con \(n=4\) en \(\int_0^1 e^x\,dx\), ¿cuál es la aproximación de nodos \(f(0)=1\), \(f(0.25)\approx1.2840\), \(f(0.5)\approx1.6487\), \(f(0.75)\approx2.1170\), \(f(1)\approx2.7183\)?
  8. Si el error de la regla compuesta del trapecio con \(n=2\) en \(\int_0^1 x^2\,dx\) es \(0.0417\), ¿cuál es el error aproximado con \(n=4\)?
  9. ¿Qué valor da la regla del trapecio con \(n=1\) para \(\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx\)?
  10. Sea \(f\) con \(|f''(x)|\le M\) en \([0,1]\). Demuestra que la regla compuesta del trapecio con \(n\) subintervalos en \(\int_0^1 f\) tiene error acotado por \(\frac{M}{12n^2}\). ¿Cuál afirmación es correcta?

Después de esto

Referencias

  • Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th edition, Cengage Learning, 2016.
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, 1st edition, SIAM, 1997.