Iteración de punto fijo

Un punto fijo \( p \) de \( g \) cumple \( g(p) = p \). Si \( g \) es continua y la sucesión \( x_n \) converge, su límite es un punto fijo. El teorema del punto fijo establece que, si \( g \) envía \( [a,b] \) en sí mismo y \( |g'(x)| \le k < 1 \) en ese intervalo, existe un único punto fijo y la iteración converge a él para cualquier \( x_0 \in [a,b] \). La convergencia es lineal con constante \( |g'(p)| \) cuando \( g'(p) \neq 0 \).

Para resolver \( x^2 - 2 = 0 \) puede usarse \( g(x) = \frac{x + 2}{x + 1} \) porque \( g(x) = x \) equivale a \( x^2 = 2 \). Con \( x_0 = 1 \) se obtiene \( x_1 = 1.5 \), \( x_2 \approx 1.4 \) y \( x_3 \approx 1.4167 \), que se acerca a \( \sqrt{2} \approx 1.4142 \). Cada paso se calcula evaluando \( g \) en el valor anterior.

Un error típico es elegir una \( g \) con \( |g'(p)| \ge 1 \) y esperar convergencia. Por ejemplo, \( g(x) = x^2 - 2 \) tiene puntos fijos en \( x = 2 \) y \( x = -1 \), pero \( |g'(2)| = 4 \), así que la iteración desde valores cercanos a 2 se aleja de la raíz. Antes de iterar conviene verificar la condición sobre la derivada.