Integración y derivación numérica · Definición

Cuadratura gaussiana

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Antes de empezar necesitas conocer

Si ya dominas la regla de Simpson, verás que aquí el reto está en elegir dónde evaluar la función, no solo en cómo combinar los valores.

Definición

Método de integración numérica que elige nodos \(x_i\) y pesos \(w_i\) óptimos para aproximar una integral con la mayor exactitud posible usando un número fijo de evaluaciones de la función.

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)\]

Una regla de cuadratura gaussiana de \(n\) nodos tiene grado de exactitud \(2n-1\): integra sin error todos los polinomios de ese grado. Los nodos \(x_i\) son las raíces del polinomio ortogonal de grado \(n\) respecto al producto interno del intervalo, y los pesos \(w_i\) se obtienen resolviendo un sistema lineal o mediante fórmulas cerradas.

Para \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx\) con \(n=2\), los nodos son \(\pm 1/\sqrt{3}\) y los pesos valen \(1\). Así, \(\int_{-1}^{1} x^2\,dx\) se aproxima por \(1/3+1/3=2/3\), que coincide con el valor exacto. Antes de aplicar la fórmula hay que transformar cualquier intervalo \([a,b]\) a \([-1,1]\).

Un error típico es usar los nodos de Gauss junto con los pesos de Simpson, o tomar nodos equiespaciados: el grado de exactitud cae y la regla deja de ser gaussiana. Tampoco conviene asumir que más nodos mejoran siempre el resultado sin comprobar que la función sea suave.

Para pensar

¿Por qué una regla de n nodos gaussiana puede integrar exactamente grado 2n-1 y no solo grado n?

Porque los n nodos y n pesos suman 2n parámetros libres, que bastan para imponer exactitud sobre las potencias 1, x, ..., x^{2n-1}.

Ejercicios 10

  1. ¿Cómo se llama la aproximación de integrales que elige nodos \(x_i\) y pesos \(w_i\) para ganar exactitud?
  2. ¿Qué son los nodos \(x_i\) de la cuadratura gaussiana de \(n\) puntos?
  3. En la fórmula \(\sum w_i f(x_i)\), ¿qué representan los \(w_i\)?
  4. ¿Sobre qué intervalo estándar se definen los nodos de Gauss-Legendre?
  5. ¿Qué familia de polinomios ortogonales genera los nodos de Gauss-Legendre?
  6. Aplica la cuadratura de 2 puntos (nodos \(\pm 1/\sqrt{3}\), pesos 1) a \(\int_{-1}^{1} x^2\,dx\). ¿Qué obtienes?
  7. Para pasar \([a,b]\) a \([-1,1]\), ¿qué cambio de variable se usa?
  8. Si la regla de \(n\) puntos es exacta hasta grado \(2n-1\), ¿hasta qué grado es exacta con \(n=3\)?
  9. ¿Cuál afirmación sobre la cuadratura gaussiana de 2 nodos en \([-1,1]\) es falsa?
  10. Con cuadratura gaussiana de 2 puntos tras transformar \([0,2]\) a \([-1,1]\), ¿cuánto vale \(\int_0^2 x^3\,dx\)? Usa \(x=t+1\) con \(t\in[-1,1]\).

Referencias

  • Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th edition, Cengage Learning, 2016.
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, 1st edition, SIAM, 1997.