Integración y series · Definición

Integral de Riemann

análisis realintegración

Antes de empezar necesitas conocer

Da un significado preciso a «el área bajo la gráfica» y deja ver exactamente qué funciones la admiten y cuáles no.

Definición

Una función acotada \(f\) en \([a,b]\) es integrable si el supremo \(L(f)\) de sus sumas inferiores y el ínfimo \(U(f)\) de sus sumas superiores, sobre las particiones \(P\), coinciden; ese valor común es su integral.

\[L(f)=\sup_P L(f,P)=\inf_P U(f,P)=U(f)=\int_a^b f(x)\,dx\]

Por la propiedad vista en las sumas de Darboux, \(L(f)\le U(f)\) siempre. Si hay igualdad, ese número es la integral; si no, la función no es integrable y se habla de integral inferior y superior. Se exige que \(f\) sea acotada porque, sin eso, el supremo en algún subintervalo sería infinito y las sumas dejarían de ser números reales.

Criterio de Riemann: una función acotada es integrable si y solo si para todo \(\varepsilon>0\) hay una partición con \(U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon\). Es la forma práctica de demostrar integrabilidad, porque evita calcular supremos sobre todas las particiones. Con él se ve que las funciones monótonas y las que tienen un número finito de saltos son integrables.

Ejemplo guía: para \(f(x)=x\) en \([0,1]\) y \(P\) con \(n\) partes iguales, \(L=\tfrac12-\tfrac1{2n}\) y \(U=\tfrac12+\tfrac1{2n}\); la brecha \(\tfrac1n\) tiende a cero y la integral es \(\tfrac12\). La función de Dirichlet es el contraejemplo clásico: \(L=0\) y \(U=1\) con toda partición, así que no es integrable aunque sea acotada.

La integral es lineal, monótona y satisface \(m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)\) si \(m\le f\le M\). Un error típico es creer que integrable equivale a continua: no lo es. En el siguiente concepto se demuestra que la continuidad basta, y más adelante el teorema fundamental del cálculo relaciona esta integral con la derivada.

Para pensar

¿Por qué una función no acotada no puede ser integrable según Riemann?

En algún subintervalo el supremo sería infinito, y la suma superior no sería un número real; no habría un ínfimo finito de sumas superiores que pudiera igualar al supremo de las inferiores.

¿Es integrable una función acotada que es discontinua en un solo punto?

Sí: se encierra el punto en un subintervalo de longitud tan pequeña como se quiera; su aporte a \(U-L\) es a lo sumo (oscilación)·(longitud), y el resto es continuo y aporta poco.

Ejercicios 10

Calcula las siguientes integrales

  1. \(\displaystyle \int_0^1 x\,dx\)
  2. \(\displaystyle \int_0^2 x^2\,dx\)
  3. \(\displaystyle \int_1^4 5\,dx\)
  4. \(\displaystyle \int_0^{\pi}\sin x\,dx\)
  5. \(\displaystyle \int_{-1}^{1} x^3\,dx\)

Problemas

  1. Sea \(f=1\) en los racionales y \(f=0\) en los irracionales, sobre \([0,1]\). ¿Es integrable según Riemann?
  2. ¿Cuál de estas funciones en \([0,1]\) no es integrable según Riemann?
  3. Sea \(f(x)=0\) si \(x<\tfrac12\) y \(f(x)=1\) si \(x\ge\tfrac12\), en \([0,1]\). Calcula \(\displaystyle\int_0^1 f\).
  4. Una función acotada \(f\) en \([a,b]\) es integrable si y solo si…
  5. Si \(f\) es integrable en \([0,2]\) y \(1\le f(x)\le3\), ¿cuál es el intervalo más ajustado que garantiza contener a \(\int_0^2 f\)?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §7.2–7.3
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 6, Def. 6.2 y Teorema 6.6
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §7.2