Diferencias divididas de Newton

Sean \(x_0,\dots,x_n\) nodos distintos. La diferencia dividida de orden cero es \(f[x_i]=f(x_i)\), y las de orden superior se obtienen recursivamente. Son simétricas en sus nodos, de modo que \(f[x_0,x_1]=f[x_1,x_0]\). Además, \(f[x_0,\dots,x_k]\) se anula si la función es un polinomio de grado menor que \(k\), lo que sirve para comprobar cálculos.

Ejemplo guía: para \(f(x)=x^2\) con nodos \(0,1,3\), los valores son \(0,1,9\). Entonces \(f[0,1]=1\), \(f[1,3]=4\) y \(f[0,1,3]=\frac{4-1}{3-0}=1\). Con estos coeficientes, \(p(x)=0+1\cdot x+1\cdot x(x-1)=x^2\) reproduce la función en los tres nodos.

Error típico: dividir entre la diferencia de valores de la función en lugar de la diferencia de nodos, o usar \(x_{i+1}-x_i\) en el denominador del orden superior. Otro fallo frecuente es olvidar el signo al invertir el orden de los nodos. Conviene verificar que el polinomio resultante pase por todos los datos originales.