Sistemas y matrices · Definición

Matriz transpuesta

álgebra linealmatrices

Antes de empezar necesitas conocer

La transpuesta intercambia filas por columnas; es una operación sencilla, pero distingue a las matrices simétricas y aparece en casi todas las fórmulas de la teoría.

Definición

La transpuesta \(A^T\) de una matriz \(A\) es la que resulta de intercambiar sus filas por sus columnas.

\[(A^T)_{ij}=a_{ji}\]

Transponer una matriz es reflejarla respecto de su diagonal principal: la fila \(i\) pasa a ser la columna \(i\). Con vectores, un vector columna se vuelve un vector fila, y de ahí sale la forma de escribir el producto escalar como \(\mathbf{u}^T\mathbf{v}\). Por eso la transpuesta es el puente entre «filas» y «columnas», dos maneras de leer una misma matriz.

La propiedad menos intuitiva es \((AB)^T=B^TA^T\): el orden se invierte. Se entiende con los tamaños: si \(A\) es \(m\times n\) y \(B\) es \(n\times p\), entonces \(B^T\) es \(p\times n\) y \(A^T\) es \(n\times m\), así que solo el producto \(B^TA^T\) está definido. Es la misma inversión de orden que ocurre con las inversas, y no es casualidad.

Ejemplo guía: si \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\), entonces \(A^T\) es la matriz \(3\times2\) con filas \((1,4)\), \((2,5)\), \((3,6)\). Una matriz es simétrica si \(A^T=A\); estas aparecen al estudiar formas cuadráticas y valores propios. Error típico: creer que \((AB)^T=A^TB^T\), lo cual casi nunca es cierto (ni siquiera tiene sentido con tamaños distintos).

Para pensar

Si \(A\) es \(3\times 5\), ¿de qué tamaño es \(A^TA\)?

\(5\times5\): \(A^T\) es \(5\times3\) y \(A\) es \(3\times5\); además \(A^TA\) siempre es simétrica.

¿Qué pasa con la diagonal principal de una matriz al transponerla?

No cambia: las entradas \(a_{ii}\) quedan en su lugar, porque \((A^T)_{ii}=a_{ii}\).

Ejercicios 10

  1. Calcula la transpuesta de \(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}\).
  2. Si \(A\) es una matriz de tamaño \(2\times4\), ¿de qué tamaño es \(A^T\)?
  3. ¿Cuál de estas matrices es simétrica (cumple \(A=A^T\))?
  4. Si \(A^T=\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\), ¿cuál es \(A\)?
  5. Si \(A\) y \(B\) son del mismo tamaño, ¿a qué es igual \((A+B)^T\)?
  6. Con \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\), calcula \((AB)^T\).
  7. Calcula \(A+A^T\) para \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\).
  8. Sea \(\mathbf{x}=(1,-2,3)^T\) un vector columna. ¿Cuánto vale \(\mathbf{x}^T\mathbf{x}\)?
  9. Una matriz cuadrada cumple \(A^T=-A\) (antisimétrica). ¿Qué se puede afirmar de su diagonal principal?
  10. Sea \(A\) una matriz de tamaño \(m\times n\). ¿Qué se puede decir de \(A^TA\)?

Referencias

  • Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §2.7
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024. §3.E