Interpolación y splines · Definición

Fenómeno de Runge

métodos numéricosinterpolación y splines

Antes de empezar necesitas conocer

Al aumentar el grado del polinomio interpolador, uno esperaría mejor aproximación. Sin embargo, con nodos equidistantes ocurre lo contrario cerca de los extremos del intervalo.

Definición

El fenómeno de Runge es el comportamiento oscilatorio y divergente de los errores de interpolación polinómica de alto grado con nodos equidistantes sobre un intervalo.

\[f(x)=\frac{1}{1+25x^2},\quad x\in[-1,1]\]

El error de interpolación depende del producto \( \prod_{i=0}^{n}(x-x_i) \) y de la derivada \( f^{(n+1)} \). Con nodos equidistantes, este producto crece mucho cerca de \( x=\pm1 \), y si las derivadas de \( f \) crecen rápido, el error se dispara en esos extremos.

Tomemos \( f(x)=\frac{1}{1+25x^2} \) en \( [-1,1] \). Al interpolar con 5 nodos equidistantes el ajuste es razonable, pero con 15 nodos el polinomio oscila con amplitud grande cerca de \( x=\pm1 \) mientras la función real permanece suave. Aumentar el grado empeora la aproximación en lugar de mejorarla.

Un error típico es concluir que más nodos siempre dan mejor resultado. Para evitarlo, conviene usar nodos de Chebyshev, que se agrupan hacia los extremos y reducen fuertemente el producto nodal.

Se espera que más nodos mejoren la interpolación, pero sin cuidado en la distribución no es así. El fenómeno se corrige cambiando los nodos o usando interpolación por tramos.

Para pensar

Si las derivadas de \( f \) estuvieran acotadas por una constante \( M \) para todo orden, ¿el error de interpolación con nodos equidistantes tendería a cero al aumentar \( n \)?

Sí. El error se acota por \( \frac{M\,2^{n+1}}{(n+1)!} \), que tiende a cero porque el factorial crece más rápido que \( 2^{n+1} \). El problema aparece cuando las derivadas crecen tan rápido que vencen ese factorial.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué describe el fenómeno de Runge?
  2. ¿Qué tipo de nodos reduce el fenómeno de Runge?
  3. ¿Cuál es la función clásica usada para ilustrar el fenómeno de Runge?
  4. ¿Qué factor del error de interpolación crece mucho cerca de los extremos con nodos equidistantes?
  5. ¿Qué sucede con el error al aumentar el grado con nodos equidistantes para \( f(x)=\frac{1}{1+25x^2} \) en \( [-1,1] \)?
  6. Interpolas \( f(x)=\frac{1}{1+25x^2} \) en \( [-1,1] \) con nodos equidistantes. ¿Cuál afirmación describe mejor el comportamiento al pasar de grado 5 a grado 15?
  7. Si el error de interpolación se escribe como \( \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod(x-x_i) \), ¿qué ocurre al pasar de nodos equidistantes a nodos de Chebyshev?
  8. ¿Cuál es la razón principal por la que interpolación por tramos evita el fenómeno de Runge?
  9. Para \( f(x)=\frac{1}{1+25x^2} \) en \( [-1,1] \), compara el máximo de \( |\prod(x-x_i)| \) para \( n=10 \) con nodos equidistantes frente a nodos de Chebyshev. ¿Cuál afirmación es correcta?
  10. ¿Por qué \( f(x)=\frac{1}{1+25x^2} \) produce oscilaciones con nodos equidistantes aunque sea infinitamente derivable en \( [-1,1] \)?

Referencias

  • Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th edition, Cengage Learning, 2016.
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, 1st edition, SIAM, 1997.