Ecuaciones diferenciales numéricas · Definición

Método de Euler

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Antes de empezar necesitas conocer

Euler dio una idea muy simple para aproximar curvas: seguir la recta tangente durante un intervalo corto. Esa intuición geométrica da lugar a un esquema que se puede programar en pocas líneas.

Definición

El método de Euler aproxima la solución de un problema de valor inicial \(y'=f(t,y)\), \(y(t_0)=y_0\), avanzando en pasos de tamaño \(h\) con la pendiente del punto actual.

\[y_{n+1}=y_n+h\,f(t_n,y_n)\]

El método se deduce del desarrollo de Taylor de primer orden: \(y(t_{n+1})\approx y(t_n)+h\,y'(t_n)\), y como \(y'(t_n)=f(t_n,y_n)\) se obtiene la fórmula iterativa. Su error local es de orden \(O(h^2)\) y, al acumularse en \(N\approx (b-a)/h\) pasos, el error global es de orden \(O(h)\), por lo que es un método de primer orden.

Para \(y'=y\), \(y(0)=1\) y \(h=0.1\), la primera iteración da \(y_1=1+0.1\cdot 1=1.1\), mientras que la solución exacta en \(t=0.1\) es \(e^{0.1}\approx 1.1052\). Así se ve que la aproximación es razonable pero con error pequeño que crece con \(h\).

Un error típico es olvidar que la pendiente se evalúa en el punto inicial del intervalo y usar \(f(t_{n+1},y_{n+1})\), lo que daría un método implícito distinto. Otro error frecuente es tomar un paso \(h\) demasiado grande, que puede producir oscilaciones o divergencia aun cuando la solución exacta sea estable.

Para pensar

¿Por qué el error global del método de Euler es de orden uno si su error local es de orden dos?

Porque al acumularse \(N\approx (b-a)/h\) errores locales de tamaño \(O(h^2)\), el total es \(N\cdot O(h^2)=O(h)\).

Ejercicios 10

  1. Para el problema \(y'=2t\), \(y(0)=0\), ¿cuál es la fórmula de Euler para \(y_{n+1}\)?
  2. ¿Qué orden de convergencia global tiene el método de Euler?
  3. Para \(y'=y\), \(y(0)=1\), ¿cuál es el valor de \(y_1\) con \(h=0.5\)?
  4. ¿Cuál es el valor de \(f(t,y)\) en el problema \(y'=t+y\)?
  5. ¿Cuántos pasos necesita Euler para ir de \(t=0\) a \(t=1\) con \(h=0.25\)?
  6. Aplica un paso de Euler a \(y'=t-y\), \(y(0)=2\), con \(h=0.1\). ¿Cuál es \(y_1\)?
  7. Con \(y'=-2y\), \(y(0)=1\) y \(h=0.1\), ¿cuál es \(y_2\)?
  8. Para \(y'=t^2\), \(y(1)=0\), con \(h=0.5\), ¿cuál es \(y_1\) en \(t=1.5\)?
  9. Con \(y'=y\), \(y(0)=1\) y \(h=0.2\), ¿cuál es la aproximación \(y_2\) a \(y(0.4)\)?
  10. Para \(y'=-y+t\), \(y(0)=1\), con \(h=0.5\), calcula \(y_2\) y compáralo con la solución exacta \(y(t)=t-1+2e^{-t}\). ¿Cuál es el error absoluto en \(t=1\)?

Referencias

  • Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th edition, Cengage Learning, 2016.
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, 1st edition, SIAM, 1997.