Raíces de ecuaciones · Definición
Método de la secante
Surge como alternativa al método de Newton-Raphson cuando evaluar \(f'(x)\) resulta costoso o no es posible. Reemplaza la derivada por una aproximación mediante la recta secante.
Definición
El método de la secante es un procedimiento iterativo para aproximar raíces de una función \(f(x)=0\) usando dos aproximaciones previas, sin necesidad de calcular la derivada.
La iteración usa la recta que pasa por \((x_{n-1}, f(x_{n-1}))\) y \((x_n, f(x_n))\), cuyo corte con el eje x define \(x_{n+1}\). Su orden de convergencia es aproximadamente \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618\), superlineal pero menor que el orden 2 de Newton. Requiere dos valores iniciales cercanos a la raíz.
Para \(f(x)=x^2-2\) con \(x_0=1\) y \(x_1=2\), la primera iteración da \(x_2=2-f(2)\frac{2-1}{f(2)-f(1)}=2-2\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\). Las siguientes iteraciones convergen rápidamente a \(\sqrt{2}\).
Un error típico es tomar dos puntos iniciales en los que \(f\) tiene el mismo signo sin verificar un cambio de signo, lo que puede hacer que la iteración diverja o converja a una raíz no deseada. Además, si \(f(x_n)=f(x_{n-1})\) el cociente se indefine.
Para pensar
¿Por qué la secante puede fallar si los dos puntos iniciales están muy alejados de la raíz?
La recta secante puede apuntar hacia otra zona, de modo que su corte con el eje x se aleja de la raíz y la iteración diverge o llega a otra raíz.
Ejercicios 10
- ¿Qué método reemplaza la derivada de Newton-Raphson por un cociente de diferencias?
- ¿Cuántos valores iniciales necesita el método de la secante?
- ¿Qué figura geométrica define el paso de la secante?
- ¿Qué ocurre si \(f(x_n)=f(x_{n-1})\) en la fórmula?
- ¿Aproximadamente qué orden de convergencia tiene el método de la secante?
- Con \(f(x)=x^2-4\), \(x_0=1\) y \(x_1=3\), ¿cuál es \(x_2\) según la secante?
- Si \(f(x)=x^3-x-2\) con \(x_0=1\) y \(x_1=2\), ¿cuál es el valor de \(f(x_1)-f(x_0)\)?
- Para \(f(x)=x^2-2\) con \(x_0=1\) y \(x_1=2\), ¿cuál es \(x_2\)?
- ¿Qué condición inicial conviene verificar antes de iterar con la secante?
- Para \(f(x)=x^2-3\) con \(x_0=1\) y \(x_1=2\), calcula \(x_2\) y \(x_3\) con la secante, y verifica si el resultado está más cerca de \(\sqrt{3}\) que \(x_1\).
Referencias
- Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Annette M. Burden, Numerical Analysis, 10th edition, Cengage Learning, 2016.
- Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, 1st edition, SIAM, 1997.