Sucesión convergente

La definición es un juego entre dos jugadores. Alguien propone una tolerancia \(\varepsilon>0\), tan pequeña como quiera, y tú debes responder con un índice \(N\) tal que de ahí en adelante ningún término se aleje de \(L\) más que \(\varepsilon\). El índice \(N\) depende de \(\varepsilon\): mientras más exigente la tolerancia, más lejos hay que ir. Para \(a_n=1/n\) y \(L=0\), basta \(N>1/\varepsilon\).

Geométricamente, la condición dice que en cualquier intervalo \((L-\varepsilon,L+\varepsilon)\) caen todos los términos salvo una cantidad finita. Los primeros términos pueden comportarse de cualquier forma, y la sucesión puede incluso tomar el valor \(L\) muchas veces; lo que importa es lo que ocurre al final. Por eso cambiar un número finito de términos no altera la convergencia ni el límite.

Para demostrar una convergencia se trabaja «hacia atrás»: se parte de \(|a_n-L|<\varepsilon\), se despeja \(n\) y eso indica qué \(N\) elegir. Con \(a_n=\frac{n+1}{n}\) y \(L=1\) se obtiene \(|a_n-1|=\frac1n<\varepsilon\) cuando \(n>1/\varepsilon\). Si no existe ningún \(L\) que cumpla la definición, la sucesión diverge, como \((-1)^n\) o \(a_n=n\).

Un error frecuente es leer la definición como «los términos se acercan cada vez más a \(L\)»; eso no es necesario. La sucesión \(1,\,0,\,\tfrac12,\,0,\,\tfrac13,\dots\) converge a \(0\) sin acercarse de forma monótona. Tampoco basta con acercarse: lo que cuenta es quedar, desde algún índice, dentro de todo intervalo alrededor de \(L\).