Suma de dos cuadrados

Fermat probó que un primo impar \(p\) es suma de dos cuadrados si y solo si \(p \equiv 1 \pmod{4}\). Para un entero general, la identidad \((a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2\) muestra que el producto de sumas de dos cuadrados sigue siendo una suma de dos cuadrados, y el criterio completo exige que cada primo \(q \equiv 3 \pmod{4}\) aparezca con exponente par.

Tomemos \(n = 45 = 3^2 \cdot 5\). El primo 3 aparece con exponente par y \(5 \equiv 1 \pmod{4}\), así que \(45\) sí es suma de dos cuadrados; de hecho \(45 = 3^2 + 6^2\).

Un error típico es pensar que basta con que \(n \equiv 1 \pmod{4}\). Por ejemplo, \(21 \equiv 1 \pmod{4}\), pero \(21 = 3 \cdot 7\) tiene dos primos \(\equiv 3 \pmod{4}\) con exponente impar, y no es suma de dos cuadrados.