Fracciones continuas y ecuaciones diofánticas · Definición
Ecuación de Pell
Antes de empezar necesitas conocer
La ecuación de Pell aparece al estudiar aproximaciones racionales de \(\sqrt{d}\). Su resolución se apoya en las fracciones continuas.
Definición
La ecuación de Pell es la ecuación diofántica cuadrática en enteros \(x\), \(y\) que iguala a 1 la diferencia entre \(x^2\) y \(d\) veces \(y^2\), donde \(d\) es un entero positivo que no es un cuadrado perfecto.
Si \(d\) no es un cuadrado, la ecuación tiene infinitas soluciones enteras. Estas se generan a partir de una solución fundamental \((x_1, y_1)\), que es la de menor \(y\) positiva, mediante potencias de \(x_1 + y_1\sqrt{d}\).
La fracción continua de \(\sqrt{d}\) es periódica. Si el periodo tiene longitud \(s\), los convergentes \(p_{s-1}/q_{s-1}\) dan la solución fundamental cuando \(s\) es par, y \(p_{2s-1}/q_{2s-1}\) cuando \(s\) es impar. Por ejemplo, para \(d=2\) se obtiene \((3,2)\) a partir del convergente \(3/2\).
Un error típico es olvidar que \(d\) no puede ser un cuadrado perfecto. Si \(d=4\), la ecuación \(x^2-4y^2=1\) equivale a \((x-2y)(x+2y)=1\) y solo tiene soluciones triviales.
Para pensar
¿Qué pasa con la ecuación si \(d=9\)?
Se factoriza como \((x-3y)(x+3y)=1\), que solo tiene soluciones triviales.
Ejercicios 10
- Identifica cuál de estas ecuaciones es una ecuación de Pell.
- Indica cuál de estos valores de \(d\) es válido para la ecuación de Pell.
- ¿Cómo se llama la solución con menor \(y\) positiva de la ecuación de Pell?
- Señala qué propiedad de \(\sqrt{d}\) permite resolver la ecuación de Pell con fracciones continuas.
- ¿Qué par \((x,y)\) es una solución de \(x^2 - 2y^2 = 1\)?
- Encuentra la solución fundamental de \(x^2 - 3y^2 = 1\) con \(y\) positiva mínima.
- Calcula el primer convergente \(p/q\) de la fracción continua de \(\sqrt{2}\) que da la solución de \(x^2-2y^2=1\).
- Determina la solución fundamental de \(x^2 - 7y^2 = 1\) sabiendo que \(8^2 - 7\cdot 3^2 = 1\).
- Si \((2,1)\) es solución fundamental de \(x^2-3y^2=1\), ¿qué par se obtiene al calcular \((2+\sqrt{3})^2\)?
- Resuelve \(x^2-5y^2=1\) hallando la solución fundamental a partir del desarrollo de \(\sqrt{5}\) en fracción continua, y comprueba que \((9,4)\) cumple la ecuación.
Referencias
- David M. Burton, Elementary Number Theory, 7th edition, McGraw-Hill, 2011. cap. 15
- Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition, Wiley, 1991. cap. 7