Congruencia lineal

Si \(\gcd(a,m)=1\), la congruencia tiene exactamente una solución módulo m, obtenida multiplicando ambos lados por el inverso modular de a. Si \(\gcd(a,m)=d\) divide a b, la congruencia tiene exactamente d soluciones módulo m, y no tiene solución si d no divide a b.

Para resolver \(3x \equiv 2 \pmod{7}\), como \(\gcd(3,7)=1\) y \(3\cdot 5=15\equiv 1 \pmod{7}\), el inverso de 3 es 5. Multiplicando por 5 se obtiene \(x\equiv 10\equiv 3 \pmod{7}\).

Un error típico es dividir ambos lados por a sin revisar el máximo común divisor, como concluir que \(2x\equiv 4 \pmod{6}\) implica \(x\equiv 2 \pmod{6}\), cuando en realidad hay d=2 soluciones módulo 6.