Divisibilidad y factorización · Definición

Mínimo común múltiplo

teoría de números elementaldivisibilidad y factorización

Antes de empezar necesitas conocer

El mínimo común múltiplo aparece al sumar fracciones con denominadores distintos y al sincronizar eventos periódicos. Se calcula a partir del máximo común divisor.

Definición

El mínimo común múltiplo de dos enteros a y b es el menor entero positivo que es múltiplo de ambos, y se denota mcm(a, b) o \( \operatorname{lcm}(a,b) \).

\[\operatorname{lcm}(a,b)=\dfrac{|ab|}{\gcd(a,b)}\]

Si \( a \) y \( b \) son enteros no nulos, \( \operatorname{lcm}(a,b) \) divide a cualquier común múltiplo de ambos, y se cumple \( \operatorname{lcm}(a,b)\cdot\gcd(a,b)=|ab| \). Usando la factorización prima, \( \operatorname{lcm}(a,b) \) toma para cada primo el mayor exponente que aparece en \( a \) o en \( b \).

Para \( a=12 \) y \( b=18 \), como \( 12=2^2\cdot 3 \) y \( 18=2\cdot 3^2 \), el mínimo común múltiplo es \( 2^2\cdot 3^2=36 \). Comprobación: \( \gcd(12,18)=6 \) y \( 12\cdot 18/6=36 \).

Un error típico es multiplicar \( a \) por \( b \) sin dividir por el máximo común divisor, lo que da \( 216 \) en lugar de \( 36 \). Otro error es tomar el menor exponente de cada primo en lugar del mayor.

Para pensar

¿Por qué \( \operatorname{lcm}(a,b)=|ab| \) cuando \( \gcd(a,b)=1 \)?

Porque \( \operatorname{lcm}(a,b)\cdot\gcd(a,b)=|ab| \) y con \( \gcd(a,b)=1 \) queda \( \operatorname{lcm}(a,b)=|ab| \).

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de \( 4 \) y \( 6 \)?
  2. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de \( 5 \) y \( 7 \)?
  3. Al sumar \( \frac{1}{4} \) y \( \frac{1}{10} \), ¿cuál es el menor denominador común posible?
  4. Si \( \gcd(a,b)=1 \), con \( a=14 \) y \( b=15 \), ¿cuánto vale \( \operatorname{lcm}(a,b) \)?
  5. Dos autobuses salen de una parada, uno cada \( 8 \) minutos y otro cada \( 14 \). ¿Al cabo de cuántos minutos vuelven a salir juntos?
  6. Calcula \( \operatorname{lcm}(12, 20) \) usando la factorización prima.
  7. Si \( \gcd(a,b)=4 \) y \( ab=96 \), ¿cuánto vale \( \operatorname{lcm}(a,b) \)?
  8. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de \( 8 \), \( 9 \) y \( 10 \)?
  9. Sean \( a=2^3\cdot 3^2 \) y \( b=2\cdot 3\cdot 5^2 \). ¿Cuánto vale \( \operatorname{lcm}(a,b) \)?
  10. Si \( \operatorname{lcm}(a,b)=180 \) y \( \gcd(a,b)=3 \), con \( a=45 \), ¿cuánto vale \( b \)?

Referencias

  • David M. Burton, Elementary Number Theory, 7th edition, McGraw-Hill, 2011. cap. 2
  • Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition, Wiley, 1991. cap. 1