Funciones aritméticas · Definición

Función de Möbius

teoría de números elementalfunciones aritméticas

Antes de empezar necesitas conocer

La función de Möbius es una de las funciones aritméticas más importantes de la teoría de números. Permite invertir sumas sobre divisores mediante la fórmula de inversión.

Definición

La función de Möbius \(\mu(n)\) es aritmética: vale \(1\) si \(n=1\), \((-1)^k\) si \(n\) es producto de \(k\) primos distintos y \(0\) si \(n\) tiene un factor primo repetido.

\[\sum_{d\mid n}\mu(d)=\begin{cases}1 & n=1\\ 0 & n>1\end{cases}\]

Es multiplicativa: si \(\gcd(m,n)=1\), entonces \(\mu(mn)=\mu(m)\mu(n)\). Además, para \(n>1\) se cumple \(\sum_{d\mid n}\mu(d)=0\), lo que caracteriza a \(\mu\) dentro de las funciones aritméticas.

Por ejemplo, para \(n=30=2\cdot 3\cdot 5\) se tiene \(\mu(30)=(-1)^3=-1\), mientras que \(\mu(12)=0\) porque \(12=2^2\cdot 3\) contiene un factor primo repetido.

Un error típico es pensar que \(\mu(n)\) depende solo del número de factores primos. Si \(n\) tiene un factor repetido, como \(\mu(8)\), el valor es \(0\), no \(-1\).

Para pensar

¿Cuánto vale \(\mu(18)\)?

0, porque \(18=2\cdot 3^2\) tiene un factor primo repetido.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuánto vale \(\mu(1)\)?
  2. ¿Cuánto vale \(\mu(7)\)?
  3. ¿Cuál de estos números tiene \(\mu(n)\neq 0\)?
  4. Si \(n\) es producto de 4 primos distintos, ¿cuánto vale \(\mu(n)\)?
  5. ¿Cuántos divisores positivos de 12 cumplen \(\mu(d)\neq 0\)?
  6. Sabes que \(g(n)=\sum_{d\mid n} f(d)\) para todo \(n\), con \(g(1)=2\), \(g(2)=5\), \(g(3)=4\) y \(g(6)=9\). ¿Cuánto vale \(f(6)\)?
  7. ¿Cuánto vale \(\mu(10)\cdot\mu(3)\)?
  8. ¿Cuál de estas afirmaciones sobre \(\mu\) es falsa?
  9. Si \(p\) es primo y \(k\ge 2\), ¿cuánto vale \(\mu(p^k)\)?
  10. Calcula \(\sum_{d\mid 30}\mu(d)\).

Referencias

  • David M. Burton, Elementary Number Theory, 7th edition, McGraw-Hill, 2011. cap. 6
  • Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition, Wiley, 1991. cap. 4