Congruencias · Definición

Inverso modular

teoría de números elementalcongruencias

Antes de empezar necesitas conocer

Dividir entre un número en aritmética modular exige multiplicar por su inverso. Este concepto permite resolver congruencias lineales de forma sistemática.

Definición

El inverso modular de un entero \(a\) módulo \(m\) es un entero \(b\) cuyo producto con \(a\) es congruente con 1 módulo \(m\).

\[ab \equiv 1 \pmod{m}\]

Si \(\operatorname{mcd}(a,m)=1\), la identidad de Bézout da enteros \(x\) e \(y\) con \(ax+my=1\). Reduciendo módulo \(m\) se obtiene que \(x\) es un inverso de \(a\). El inverso es único módulo \(m\): dos inversos son congruentes entre sí. Recíprocamente, si \(ab\equiv 1\pmod{m}\), todo divisor común de \(a\) y \(m\) divide a 1; por eso el inverso existe si y solo si \(\operatorname{mcd}(a,m)=1\).

Para hallar el inverso de \(7\) módulo \(26\), el algoritmo de Euclides da \(26=3\cdot 7+5\), \(7=1\cdot 5+2\), \(5=2\cdot 2+1\). Despejando hacia atrás resulta \(1=3\cdot 5-2\cdot 7\) y finalmente \(1=3\cdot 26-11\cdot 7\), así que el inverso es \(-11\equiv 15\).

Un error típico es intentar calcular el inverso de un número que no es coprimo con el módulo, por ejemplo de \(6\) módulo \(9\). Como \(\operatorname{mcd}(6,9)=3\neq 1\), la congruencia \(6b\equiv 1\pmod{9}\) no tiene solución.

Para pensar

¿Por qué \(6\) no tiene inverso módulo \(9\)?

Porque \(\operatorname{mcd}(6,9)=3\neq 1\).

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que \(a\) tenga inverso módulo \(m\)?
  2. ¿Tiene \(2\) inverso módulo \(4\)?
  3. Enuncia la propiedad de unicidad del inverso modular módulo \(m\).
  4. ¿Qué entero \(b\) cumple \(3b\equiv 1\pmod{5}\)?
  5. ¿Cuál de estas congruencias tiene solución en \(b\)?
  6. Halla el inverso de \(5\) módulo \(11\).
  7. ¿Qué par de números son inversos entre sí módulo \(10\)?
  8. Resuelve \(3x\equiv 2\pmod{7}\) usando el inverso de \(3\).
  9. Si \(b\) es inverso de \(a\) módulo \(m\) y \(c\equiv a\pmod{m}\), ¿qué se cumple?
  10. Halla el inverso de \(7\) módulo \(26\) y úsalo para resolver \(7x\equiv 9\pmod{26}\).

Referencias

  • David M. Burton, Elementary Number Theory, 7th edition, McGraw-Hill, 2011. cap. 4
  • Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition, Wiley, 1991. cap. 2