Convergente de una fracción continua

Los numeradores y denominadores satisfacen las recurrencias \( p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2} \) y \( q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2} \), con valores iniciales \( p_{-1}=1, p_{-2}=0, q_{-1}=0, q_{-2}=1 \). Además, \( p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=(-1)^{n-1} \), de modo que cada convergente está en forma reducida. Los convergentes de índice par son menores que el valor de la fracción y los de índice impar son mayores.

Para \( \sqrt{2}=[1;2,2,2,\ldots] \), los primeros convergentes se calculan con \( p_0=1, q_0=1 \), \( p_1=3, q_1=2 \) y \( p_2=7, q_2=5 \). Así, \( 7/5 \) aproxima \( \sqrt{2} \) con un error menor que \( 0.02 \).

Un error típico es olvidar los valores iniciales de las recurrencias y empezar con \( p_0=a_0 \) sin definir \( p_{-1} \) y \( q_{-1} \), lo que produce denominadores incorrectos. Otro error frecuente es suponer que todo convergente es mayor que el valor real de la fracción continua.