Funciones aritméticas · Definición
Número perfecto
Antes de empezar necesitas conocer
Los números perfectos fueron estudiados desde la Antigüedad y están ligados a los primos de Mersenne. Euclides y Euler caracterizaron los pares.
Definición
Un número perfecto es un entero positivo \(n\) igual a la suma de sus divisores propios, los menores que \(n\); con la función suma de divisores \(\sigma\), la suma de todos sus divisores es el doble de \(n\).
Euclides demostró que si \(2^p-1\) es primo, entonces \(2^{p-1}(2^p-1)\) es perfecto, y Euler probó que todo perfecto par tiene esa forma. Si existen perfectos impares sigue siendo un problema abierto.
Para \(p=2\), \(2^2-1=3\) es primo y \(2^{1}\cdot 3=6\) es perfecto. Para \(p=3\), \(2^3-1=7\) es primo y \(2^{2}\cdot 7=28\) también lo es.
Un error típico es sumar todos los divisores, incluido \(n\), y concluir que \(n\) es perfecto cuando la suma da \(2n\). Para serlo, la suma de los divisores propios debe dar exactamente \(n\).
Para pensar
¿Por qué el 8 no es perfecto, aunque tenga cuatro divisores?
Porque sus divisores propios 1, 2 y 4 suman 7, no 8.
Ejercicios 10
- ¿Cuál de estos números es perfecto?
- ¿Cuál es el segundo número perfecto más pequeño?
- ¿Cuál de estos valores de \(n\) cumple la definición de número perfecto?
- ¿Cuánto suman los divisores propios de 28?
- ¿Cuál de estas igualdades define un número perfecto \(n\)?
- Calcula la suma de los divisores propios de 12 y di si 12 es perfecto.
- ¿Cuál es el tercer número perfecto más pequeño?
- Si \(2^p-1\) es primo con \(p=7\), ¿qué número perfecto da la fórmula de Euclides?
- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
- Sea \(n=2^{10}(2^{11}-1)\). ¿Es \(n\) perfecto?
Referencias
- David M. Burton, Elementary Number Theory, 7th edition, McGraw-Hill, 2011. cap. 11
- Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition, Wiley, 1991. cap. 4