Función aritmética multiplicativa

Si \(f\) es multiplicativa, entonces \(f(n)=\prod f(p^{a})\) sobre la factorización prima \(n=\prod p^{a}\), gracias al teorema fundamental de la aritmética. Además, \(f\) queda fijada por sus valores en potencias de primos. Por ejemplo, la función \(\tau(n)\), que cuenta divisores positivos, cumple \(\tau(p^{a})=a+1\).

Para \(n=360=2^3\cdot 3^2\cdot 5\), se obtiene \(\tau(360)=(3+1)(2+1)(1+1)=24\), que coincide con el conteo directo de divisores. Esto muestra cómo el cálculo se reduce a factores primos independientes.

Un error típico es suponer que \(f(m+n)=f(m)+f(n)\) o que \(f(mn)=f(m)f(n)\) vale sin la condición \(\gcd(m,n)=1\). Por ejemplo, \(\tau(4)=3\) pero \(\tau(2)\tau(2)=4\), así que la regla falla sin coprimalidad.