Funciones aritméticas · Definición

Fórmula de inversión de Möbius

teoría de números elementalfunciones aritméticas

Antes de empezar necesitas conocer

Muchas funciones aritméticas se definen como sumas sobre divisores, y a veces hace falta deshacer esa operación. Esta fórmula lo hace de manera explícita.

Definición

Fórmula que recupera una función aritmética \(f\) a partir de su suma sobre los divisores, empleando la función de Möbius \(\mu\).

\[f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\,g\!\left(\frac{n}{d}\right)\]

Si \(g\) es la suma de \(f\) sobre los divisores de cada \(n\), la inversión recupera \(f\) como suma de \(g\) evaluada en cocientes \(n/d\), ponderada por \(\mu(d)\). Ambas relaciones son equivalentes gracias a la identidad \(\sum_{d\mid n}\mu(d)\), que vale 1 si \(n=1\) y 0 en los demás casos.

Tomemos \(g(n)=n\), cuya inversión da \(f=\varphi\) de Euler. Para \(n=6\), los divisores \(d=1,2,3,6\) dan \(\mu(d)=1,-1,-1,1\) y cocientes \(6,3,2,1\), así que \(\varphi(6)=6-3-2+1=2\).

Un error frecuente es emparejar mal los argumentos, usando \(g(d)\) en lugar de \(g(n/d)\) o sumando sobre los múltiplos de \(n\) en vez de sobre sus divisores. Con \(n=6\) esto da resultados que no coinciden con \(\varphi(6)=2\).

Para pensar

¿Por qué la fórmula de inversión necesita la identidad \(\sum_{d\mid n}\mu(d)\)?

Porque esa suma vale 1 si \(n=1\) y 0 en los demás casos, lo que permite despejar \(f\) a partir de \(g\).

Ejercicios 10

  1. ¿Qué función aritmética aparece como coeficiente en la fórmula de inversión de Möbius?
  2. ¿Cuál es la forma correcta de invertir \(g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\)?
  3. ¿Sobre qué conjunto se realiza la suma en \(g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\)?
  4. Si \(g(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\) para todo \(n\), ¿cuánto vale \(g(12)\)?
  5. ¿Cuánto vale \(\mu(4)\)?
  6. Si \(g(n)=n\) para todo \(n\), calcula \(f(6)\) con la inversión de Möbius.
  7. Si \(g(n)=n^2\) para todo \(n\), calcula \(f(3)\) con la inversión de Möbius.
  8. Si \(g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\) y \(f(n)=n\) para todo \(n\), calcula \(g(4)\).
  9. Sea \(g(n)=n\) para todo \(n\). ¿Cuánto vale \(f(12)\) por inversión de Möbius?
  10. Un alumno afirma que \(f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)\) invierte \(g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\). Con \(g(n)=n\), ¿qué ocurre para \(n=6\)?

Referencias

  • David M. Burton, Elementary Number Theory, 7th edition, McGraw-Hill, 2011. cap. 6
  • Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th edition, Wiley, 1991. cap. 4